Номер 198, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

198. Точка А лежит в плоскости α, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок AB в отношении 4 : 5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому расстояние от нее до плоскости равно 0.

Пусть $BB'$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. По условию, его длина $BB' = 9$ см. Точка $B'$ является проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$.

Пусть $MM'$ — искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Тогда $MM'$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$, а $M'$ — проекция точки $M$ на эту плоскость.

Поскольку прямые $MM'$ и $BB'$ обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу: $MM' \parallel BB'$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABB'$. Он является прямоугольным, так как $BB' \perp \alpha$, а прямая $AB'$ (на которой лежат точки $A$ и $B'$) находится в плоскости $\alpha$, следовательно $\angle AB'B = 90^{\circ}$.

Точка $M$ лежит на гипотенузе $AB$. Проведем через точку $M$ прямую $MM'$, параллельную катету $BB'$, до пересечения с катетом $AB'$ в точке $M'$. Треугольник $\triangle AMM'$ подобен треугольнику $\triangle ABB'$ по двум углам (угол при вершине $A$ у них общий, а $\angle AM'M = \angle AB'B = 90^{\circ}$).

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно:

$\frac{MM'}{BB'} = \frac{AM}{AB}$

По условию задачи точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 4 : 5$. Это значит, что если принять длину отрезка $AM$ за $4x$, то длина отрезка $MB$ будет $5x$. Тогда вся длина отрезка $AB$ составит $AM + MB = 4x + 5x = 9x$.

Найдем отношение $\frac{AM}{AB}$:

$\frac{AM}{AB} = \frac{4x}{9x} = \frac{4}{9}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников:

$\frac{MM'}{9} = \frac{4}{9}$

Отсюда находим искомое расстояние $MM'$:

$MM' = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$ см.

Ответ: 4 см.