Номер 6, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

6. Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?

Да, данное утверждение верно. Приведем развернутое доказательство.

Обозначим данную плоскость как $ \alpha $, а данную прямую как $ l $. Рассмотрим множество всех прямых, которые по условию перпендикулярны плоскости $ \alpha $ и пересекают прямую $ l $.

Ключевым фактом является то, что все прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Следовательно, все рассматриваемые нами прямые параллельны между собой.

Проанализируем все возможные взаимные расположения прямой $ l $ и плоскости $ \alpha $.

Случай 1: Прямая $ l $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ ($ l \perp \alpha $).

В этом случае любая прямая, которая перпендикулярна плоскости $ \alpha $ и пересекает прямую $ l $, должна совпадать с самой прямой $ l $. Это следует из теоремы о том, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Если бы существовала другая такая прямая $ m $, то в точке их пересечения (которая лежит на $ l $) через одну точку проходили бы две разные прямые ($ l $ и $ m $), перпендикулярные одной и той же плоскости $ \alpha $, что невозможно. Таким образом, множество искомых прямых состоит из одной единственной прямой — самой прямой $ l $. Одна прямая, очевидно, лежит в одной плоскости (даже в бесконечном множестве плоскостей, проходящих через нее). Следовательно, для этого случая утверждение верно.

Случай 2: Прямая $ l $ не перпендикулярна плоскости $ \alpha $.

Этот случай охватывает ситуации, когда прямая $ l $ параллельна плоскости $ \alpha $, лежит в ней или пересекает ее под углом, отличным от $ 90^\circ $.

Возьмем две произвольные различные точки $ A $ и $ B $ на прямой $ l $. Через точку $ A $ проведем прямую $ a $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $ ($ a \perp \alpha $). Через точку $ B $ проведем прямую $ b $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $ ($ b \perp \alpha $).

По определению, прямые $ a $ и $ b $ принадлежат нашему множеству прямых. Так как обе прямые перпендикулярны плоскости $ \alpha $, они параллельны друг другу: $ a \parallel b $.

Через две параллельные прямые $ a $ и $ b $ проходит одна и только одна плоскость. Назовем эту плоскость $ \beta $.

Теперь докажем, что все рассматриваемые прямые лежат в этой плоскости $ \beta $.

Во-первых, сама прямая $ l $ лежит в плоскости $ \beta $. Это следует из того, что две ее точки ($ A $ и $ B $) лежат в этой плоскости (точка $ A $ лежит на прямой $ a \subset \beta $, а точка $ B $ лежит на прямой $ b \subset \beta $). По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Во-вторых, возьмем любую другую прямую $ c $ из нашего множества. Эта прямая по определению пересекает прямую $ l $ в некоторой точке $ C $ и перпендикулярна плоскости $ \alpha $.

Поскольку точка $ C $ лежит на прямой $ l $, а прямая $ l $ целиком лежит в плоскости $ \beta $, то точка $ C $ также лежит в плоскости $ \beta $ ($ C \in \beta $).

Прямая $ c $ перпендикулярна $ \alpha $, так же как и прямая $ a $. Следовательно, они параллельны: $ c \parallel a $.

Итак, мы имеем прямую $ c $, которая проходит через точку $ C $ плоскости $ \beta $ и параллельна прямой $ a $, лежащей в этой же плоскости $ \beta $. Из этого следует, что прямая $ c $ также целиком лежит в плоскости $ \beta $.

Поскольку мы выбрали прямую $ c $ произвольно, это означает, что все прямые, перпендикулярные плоскости $ \alpha $ и пересекающие прямую $ l $, лежат в одной и той же плоскости $ \beta $.

Таким образом, в обоих возможных случаях утверждение оказывается верным.

Ответ: Да, утверждение верно.