Номер 195, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АС₁ = 12 см и диагональ BD₁ составляет с плоскостью грани AA₁D₁D угол в 30°, а с ребром DD₁ — угол в 45°.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ как $a=AD$, $b=AB$ и $c=AA_1$. В прямоугольном параллелепипеде все главные диагонали равны, поэтому диагональ $BD_1 = AC_1 = 12$ см. Квадрат длины главной диагонали равен сумме квадратов трех его измерений, $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Таким образом, мы имеем уравнение: $a^2 + b^2 + c^2 = 12^2 = 144$.

Угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью грани $AA_1D_1D$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией точки $B$ на плоскость $(AA_1D_1D)$ является точка $A$, так как ребро $AB$ перпендикулярно этой плоскости. Точка $D_1$ уже лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость $(AA_1D_1D)$ является отрезок $AD_1$, а искомый угол — это $\angle BD_1A$, который по условию равен $30^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD_1$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ (поскольку $AB \perp AD_1$). Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем $\sin(\angle BD_1A) = \frac{AB}{BD_1}$, откуда $\sin(30^\circ) = \frac{b}{12}$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{b}{12}$, и, следовательно, $b = 6$ см.

Угол между диагональю $BD_1$ и ребром $DD_1$ — это угол $\angle BD_1D$, который по условию равен $45^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle BDD_1$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, диагонали основания $BD$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем $\cos(\angle BD_1D) = \frac{DD_1}{BD_1}$, откуда $\cos(45^\circ) = \frac{c}{12}$. Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{c}{12}$, и, следовательно, $c = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная два измерения $b=6$ см и $c=6\sqrt{2}$ см, найдем третье измерение $a$ из основного уравнения для диагонали: $a^2 + b^2 + c^2 = 144$. Подставив известные значения, получим $a^2 + 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 144$. Это дает нам $a^2 + 36 + 72 = 144$, или $a^2 + 108 = 144$. Отсюда $a^2 = 144 - 108 = 36$, и, так как длина должна быть положительной, $a = 6$ см.

Таким образом, измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 6 см и $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: 6 см, 6 см, $6\sqrt{2}$ см.