Номер 2, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 2. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 2, страница 60.

2. Параллельные прямые b и с лежат в плоскости α, а прямая а перпендикулярна к прямой b. Верно ли утверждение: а) прямая а перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость α?

а) прямая ?? перпендикулярна к прямой ??
Данное утверждение верно.
Рассмотрим доказательство. Пусть $\vec{v_a}$, $\vec{v_b}$ и $\vec{v_c}$ — направляющие векторы прямых $a$, $b$ и $c$ соответственно. Угол между прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.
1. По условию, прямые $b$ и $c$ параллельны ($b \parallel c$). Это означает, что их направляющие векторы коллинеарны, то есть $\vec{v_c} = k \cdot \vec{v_b}$ для некоторого ненулевого скаляра $k$.
2. По условию, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Это означает, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 0$.
3. Теперь проверим, перпендикулярны ли прямые $a$ и $c$. Для этого нужно вычислить скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{v_a} \cdot \vec{v_c}$:$ \vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = \vec{v_a} \cdot (k \cdot \vec{v_b}) = k \cdot (\vec{v_a} \cdot \vec{v_b}) $
Поскольку из пункта 2 мы знаем, что $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 0$, то получаем:$ \vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = k \cdot 0 = 0 $
Так как скалярное произведение направляющих векторов прямых $a$ и $c$ равно нулю, то прямые $a$ и $c$ перпендикулярны. Условие, что прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$, для этого вывода не является необходимым, но оно не противоречит ему.
Ответ: да, утверждение верно.

б) прямая ?? пересекает плоскость ??
Данное утверждение неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример, где все условия задачи выполняются, а прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$.
Введем в пространстве прямоугольную систему координат $Oxyz$.1. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Уравнение этой плоскости: $z=0$.2. Пусть прямая $b$ совпадает с осью $Ox$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.3. Пусть прямая $c$ — это прямая, заданная уравнениями $y=1, z=0$. Она параллельна оси $Ox$ (прямой $b$) и также лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, условия $b \parallel c$ и $b, c \subset \alpha$ выполнены.4. Теперь нужно выбрать прямую $a$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $b$ (оси $Ox$), но при этом не пересекала плоскость $\alpha$ (плоскость $Oxy$).
Прямая перпендикулярна оси $Ox$, если ее направляющий вектор ортогонален вектору $(1,0,0)$. Это выполняется для любой прямой, параллельной плоскости $Oyz$.Прямая не пересекает плоскость $Oxy$, если она ей параллельна и не лежит в ней. Это означает, что все точки прямой должны иметь одну и ту же координату $z$, не равную нулю.
Выберем в качестве прямой $a$ прямую, проходящую через точку $(0,0,1)$ параллельно оси $Oy$. Координаты точек на этой прямой: $(0, y, 1)$.Проверим условия для этой прямой $a$:

• Направляющий вектор прямой $a$ (параллельной $Oy$) — это $\vec{v_a}=(0,1,0)$. Направляющий вектор прямой $b$ (оси $Ox$) — это $\vec{v_b}=(1,0,0)$. Их скалярное произведение: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$. Значит, $a \perp b$. Условие выполнено.
• Пересекает ли прямая $a$ плоскость $\alpha$? Каждая точка прямой $a$ имеет координату $z=1$. Каждая точка плоскости $\alpha$ имеет координату $z=0$. Поскольку $1 \neq 0$, у прямой и плоскости нет общих точек. Следовательно, прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$, а параллельна ей.

Мы построили конфигурацию, в которой все условия задачи выполнены, но вывод (пересечение $a$ и $\alpha$) неверен.
Ответ: нет, утверждение неверно.