Номер 194, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

а) диагональ куба и ребро куба

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$. В качестве скрещивающихся прямых выберем прямую, содержащую диагональ куба $AC_1$, и прямую, содержащую ребро $BB_1$. Ребро $BB_1$ не имеет общих точек с диагональю $AC_1$ и не параллельно ей, следовательно, они скрещиваются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти, спроецировав одну из прямых на плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Спроектируем куб на эту плоскость.

1. Проекцией прямой $BB_1$ на плоскость $ABCD$ является точка $B$.

2. Проекцией диагонали куба $AC_1$ на плоскость $ABCD$ является диагональ грани $AC$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BB_1$ равно расстоянию между их проекциями на плоскость $ABCD$, то есть расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в квадрате $ABCD$.

В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $BO$.

Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, длина диагонали $BD$ равна $a\sqrt{2}$.

Расстояние $BO$ равно половине длины диагонали $BD$: $d = BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

б) диагональ куба и диагональ грани куба

Рассмотрим тот же куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В качестве скрещивающихся прямых выберем прямую, содержащую диагональ куба $AC_1$, и прямую, содержащую диагональ грани $BD$. Эти прямые не пересекаются и не параллельны.

Для нахождения расстояния между ними воспользуемся методом координат. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Координаты вершин, необходимых для решения: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C_1(a,a,a)$.

Прямая, содержащая диагональ куба $AC_1$, проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AC_1} = (a,a,a)$, который можно упростить до $(1,1,1)$.

Прямая, содержащая диагональ грани $BD$, проходит через точку $B(a,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BD} = (0-a, a-0, 0-0) = (-a,a,0)$, который можно упростить до $(-1,1,0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем точки $K$ на прямой $AC_1$ и $L$ на прямой $BD$ такие, что вектор $\vec{KL}$ перпендикулярен обеим прямым.

Произвольная точка $K$ на прямой $AC_1$ имеет вид $K(t,t,t)$ для некоторого параметра $t$.

Произвольная точка $L$ на прямой $BD$ может быть задана как $L = B + s \cdot \vec{BD} = (a,0,0) + s(-a,a,0) = (a-sa, sa, 0)$ для некоторого параметра $s$.

Вектор $\vec{KL}$ имеет координаты: $\vec{KL} = (a-sa-t, sa-t, -t)$.

Условие перпендикулярности вектора $\vec{KL}$ направляющим векторам $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ выражается через скалярное произведение: $\vec{KL} \cdot \vec{v_1} = 0$ и $\vec{KL} \cdot \vec{v_2} = 0$.

1. $(a-sa-t) \cdot 1 + (sa-t) \cdot 1 + (-t) \cdot 1 = 0 \implies a - sa - t + sa - t - t = 0 \implies a - 3t = 0 \implies t = \frac{a}{3}$.

2. $(a-sa-t) \cdot (-1) + (sa-t) \cdot 1 + (-t) \cdot 0 = 0 \implies -a + sa + t + sa - t = 0 \implies -a + 2sa = 0 \implies s = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем координаты точек $K$ и $L$: $K = (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3})$. $L = (a - \frac{1}{2}a, \frac{1}{2}a, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

Искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $KL$: $d = |\vec{KL}| = \sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a}{3})^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{3})^2 + (0-\frac{a}{3})^2}$ $d = \sqrt{(\frac{3a-2a}{6})^2 + (\frac{3a-2a}{6})^2 + (-\frac{a}{3})^2} = \sqrt{(\frac{a}{6})^2 + (\frac{a}{6})^2 + (\frac{a}{3})^2}$ $d = \sqrt{\frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{a^2+a^2+4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{6a^2}{36}} = \sqrt{\frac{a^2}{6}} = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$