Страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной $a$. Требуется найти тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. В качестве диагонали куба выберем $AC_1$, а в качестве плоскости грани — плоскость нижнего основания $ABCD$.

Угол между прямой (в нашем случае, диагональю $AC_1$) и плоскостью (гранью $ABCD$) определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость $ABCD$. Точка $A$ уже принадлежит этой плоскости, поэтому её проекция совпадает с ней самой. Чтобы найти проекцию точки $C_1$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $ABCD$. Таким перпендикуляром является ребро $CC_1$. Следовательно, точка $C$ является проекцией точки $C_1$. Таким образом, проекцией всей диагонали $AC_1$ на плоскость $ABCD$ является диагональ грани $AC$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $AC_1$ и её проекцией $AC$, то есть $\alpha = \angle C_1AC$. Этот угол является острым углом в треугольнике $\triangle AC_1C$.

Так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, оно перпендикулярно и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе диагонали $AC$. Значит, треугольник $\triangle AC_1C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом прямоугольном треугольнике катет $CC_1$ является ребром куба, и его длина равна $a$. Катет $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$, его длина составляет $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Тангенс угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $$ \text{tg}(\alpha) = \frac{CC_1}{AC} $$

Подставив найденные значения длин, получим: $$ \text{tg}(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

193. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ дано: D₁B = d, АС = m, AB = n. Найдите расстояние между: а) прямой А₁С₁ и плоскостью ABC; б) плоскостями ABВ₁ и DCC₁; в) прямой DD₁ и плоскостью АСС₁.

Для решения задачи сначала найдем измерения прямоугольного параллелепипеда $a, b, c$, где $a = AB$ (длина), $b = AD$ (ширина), $c = AA_1$ (высота).

Из условия задачи нам дано:

Длина ребра $AB = n$. Таким образом, измерение $a = n$.

Диагональ основания $AC = m$. Основание $ABCD$ — это прямоугольник, следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Поскольку в прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны, $BC = AD = b$. Подставив известные значения, получаем: $m^2 = n^2 + b^2$. Отсюда выразим $b$: $b^2 = m^2 - n^2$, что дает нам ширину $b = AD = \sqrt{m^2 - n^2}$.

Диагональ параллелепипеда $D_1B = d$. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставим уже найденные выражения для $a$ и $b^2$: $d^2 = n^2 + (m^2 - n^2) + c^2$. Упростив, получаем $d^2 = m^2 + c^2$. Из этого уравнения находим высоту $c$: $c^2 = d^2 - m^2$, следовательно, $c = AA_1 = \sqrt{d^2 - m^2}$.

Таким образом, мы определили все измерения параллелепипеда: $AB = n$, $AD = \sqrt{m^2 - n^2}$, $AA_1 = \sqrt{d^2 - m^2}$.

а) расстояние между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $ABC$

Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания. В прямоугольном параллелепипеде плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны друг другу.

Расстояние от прямой, лежащей в одной из параллельных плоскостей, до другой плоскости равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями оснований $A_1B_1C_1D_1$ и $ABC$ равно длине любого бокового ребра, так как все они перпендикулярны основаниям. Возьмем ребро $AA_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине высоты параллелепипеда, то есть $c = AA_1$.

Ответ: $\sqrt{d^2 - m^2}$

б) расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DCC_1$

Плоскости $ABB_1$ (грань $ABB_1A_1$) и $DCC_1$ (грань $DCC_1D_1$) являются противоположными боковыми гранями прямоугольного параллелепипеда. По определению, эти грани параллельны.

Расстояние между двумя параллельными гранями равно длине ребра, перпендикулярного им. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$ и ребру $AA_1$, которые определяют плоскость $ABB_1A_1$. Значит, ребро $AD$ перпендикулярно всей плоскости $ABB_1A_1$ и является общим перпендикуляром для данных плоскостей.

Таким образом, искомое расстояние равно длине ребра $AD$, то есть $b$.

Ответ: $\sqrt{m^2 - n^2}$

в) расстояние между прямой $DD_1$ и плоскостью $ACC_1$

Прямая $DD_1$ — это боковое ребро, а плоскость $ACC_1$ (полное название $ACC_1A_1$) — это диагональная плоскость параллелепипеда.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, боковые ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны ($DD_1 \parallel AA_1$). Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Если прямая не лежит в плоскости и параллельна некоторой прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Следовательно, $DD_1 \parallel ACC_1A_1$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до данной плоскости. Выберем точку $D$ на прямой $DD_1$ и найдем расстояние от нее до плоскости $ACC_1A_1$.

Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $ACC_1A_1$. Рассмотрим основание $ABCD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ (с прямым углом $\angle D$), проведем высоту $DH$ к гипотенузе $AC$. Таким образом, $DH \perp AC$.

Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, то оно перпендикулярно и любой прямой в этой плоскости, в частности $AA_1 \perp DH$.

Поскольку прямая $DH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, длина отрезка $DH$ и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $DH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$. Его катеты $CD = AB = n$ и $AD = \sqrt{m^2 - n^2}$, а гипотенуза $AC = m$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} n \sqrt{m^2 - n^2}$. $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} m \cdot DH$.

Приравняв оба выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} m \cdot DH = \frac{1}{2} n \sqrt{m^2 - n^2}$.

Отсюда $DH = \frac{n \sqrt{m^2 - n^2}}{m}$.

Ответ: $\frac{n\sqrt{m^2 - n^2}}{m}$

194. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

а) диагональ куба и ребро куба

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром длины $a$. В качестве скрещивающихся прямых выберем прямую, содержащую диагональ куба $AC_1$, и прямую, содержащую ребро $BB_1$. Ребро $BB_1$ не имеет общих точек с диагональю $AC_1$ и не параллельно ей, следовательно, они скрещиваются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми можно найти, спроецировав одну из прямых на плоскость, перпендикулярную другой прямой.

Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Спроектируем куб на эту плоскость.

1. Проекцией прямой $BB_1$ на плоскость $ABCD$ является точка $B$.

2. Проекцией диагонали куба $AC_1$ на плоскость $ABCD$ является диагональ грани $AC$.

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BB_1$ равно расстоянию между их проекциями на плоскость $ABCD$, то есть расстоянию от точки $B$ до прямой $AC$ в квадрате $ABCD$.

В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно длине отрезка $BO$.

Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Таким образом, длина диагонали $BD$ равна $a\sqrt{2}$.

Расстояние $BO$ равно половине длины диагонали $BD$: $d = BO = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

б) диагональ куба и диагональ грани куба

Рассмотрим тот же куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В качестве скрещивающихся прямых выберем прямую, содержащую диагональ куба $AC_1$, и прямую, содержащую диагональ грани $BD$. Эти прямые не пересекаются и не параллельны.

Для нахождения расстояния между ними воспользуемся методом координат. Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Координаты вершин, необходимых для решения: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $C_1(a,a,a)$.

Прямая, содержащая диагональ куба $AC_1$, проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AC_1} = (a,a,a)$, который можно упростить до $(1,1,1)$.

Прямая, содержащая диагональ грани $BD$, проходит через точку $B(a,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BD} = (0-a, a-0, 0-0) = (-a,a,0)$, который можно упростить до $(-1,1,0)$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем точки $K$ на прямой $AC_1$ и $L$ на прямой $BD$ такие, что вектор $\vec{KL}$ перпендикулярен обеим прямым.

Произвольная точка $K$ на прямой $AC_1$ имеет вид $K(t,t,t)$ для некоторого параметра $t$.

Произвольная точка $L$ на прямой $BD$ может быть задана как $L = B + s \cdot \vec{BD} = (a,0,0) + s(-a,a,0) = (a-sa, sa, 0)$ для некоторого параметра $s$.

Вектор $\vec{KL}$ имеет координаты: $\vec{KL} = (a-sa-t, sa-t, -t)$.

Условие перпендикулярности вектора $\vec{KL}$ направляющим векторам $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ выражается через скалярное произведение: $\vec{KL} \cdot \vec{v_1} = 0$ и $\vec{KL} \cdot \vec{v_2} = 0$.

1. $(a-sa-t) \cdot 1 + (sa-t) \cdot 1 + (-t) \cdot 1 = 0 \implies a - sa - t + sa - t - t = 0 \implies a - 3t = 0 \implies t = \frac{a}{3}$.

2. $(a-sa-t) \cdot (-1) + (sa-t) \cdot 1 + (-t) \cdot 0 = 0 \implies -a + sa + t + sa - t = 0 \implies -a + 2sa = 0 \implies s = \frac{1}{2}$.

Теперь найдем координаты точек $K$ и $L$: $K = (\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3})$. $L = (a - \frac{1}{2}a, \frac{1}{2}a, 0) = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

Искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $KL$: $d = |\vec{KL}| = \sqrt{(\frac{a}{2}-\frac{a}{3})^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{3})^2 + (0-\frac{a}{3})^2}$ $d = \sqrt{(\frac{3a-2a}{6})^2 + (\frac{3a-2a}{6})^2 + (-\frac{a}{3})^2} = \sqrt{(\frac{a}{6})^2 + (\frac{a}{6})^2 + (\frac{a}{3})^2}$ $d = \sqrt{\frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{9}} = \sqrt{\frac{a^2+a^2+4a^2}{36}} = \sqrt{\frac{6a^2}{36}} = \sqrt{\frac{a^2}{6}} = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{6}$

195. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если АС₁ = 12 см и диагональ BD₁ составляет с плоскостью грани AA₁D₁D угол в 30°, а с ребром DD₁ — угол в 45°.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ как $a=AD$, $b=AB$ и $c=AA_1$. В прямоугольном параллелепипеде все главные диагонали равны, поэтому диагональ $BD_1 = AC_1 = 12$ см. Квадрат длины главной диагонали равен сумме квадратов трех его измерений, $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Таким образом, мы имеем уравнение: $a^2 + b^2 + c^2 = 12^2 = 144$.

Угол между диагональю $BD_1$ и плоскостью грани $AA_1D_1D$ — это угол между этой диагональю и ее проекцией на данную плоскость. Проекцией точки $B$ на плоскость $(AA_1D_1D)$ является точка $A$, так как ребро $AB$ перпендикулярно этой плоскости. Точка $D_1$ уже лежит в этой плоскости. Следовательно, проекцией диагонали $BD_1$ на плоскость $(AA_1D_1D)$ является отрезок $AD_1$, а искомый угол — это $\angle BD_1A$, который по условию равен $30^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD_1$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ (поскольку $AB \perp AD_1$). Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем $\sin(\angle BD_1A) = \frac{AB}{BD_1}$, откуда $\sin(30^\circ) = \frac{b}{12}$. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем $\frac{1}{2} = \frac{b}{12}$, и, следовательно, $b = 6$ см.

Угол между диагональю $BD_1$ и ребром $DD_1$ — это угол $\angle BD_1D$, который по условию равен $45^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle BDD_1$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$ и, следовательно, диагонали основания $BD$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем $\cos(\angle BD_1D) = \frac{DD_1}{BD_1}$, откуда $\cos(45^\circ) = \frac{c}{12}$. Так как $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{c}{12}$, и, следовательно, $c = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная два измерения $b=6$ см и $c=6\sqrt{2}$ см, найдем третье измерение $a$ из основного уравнения для диагонали: $a^2 + b^2 + c^2 = 144$. Подставив известные значения, получим $a^2 + 6^2 + (6\sqrt{2})^2 = 144$. Это дает нам $a^2 + 36 + 72 = 144$, или $a^2 + 108 = 144$. Отсюда $a^2 = 144 - 108 = 36$, и, так как длина должна быть положительной, $a = 6$ см.

Таким образом, измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 6 см и $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: 6 см, 6 см, $6\sqrt{2}$ см.

196. Изобразите куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА₁ и перпендикулярной к плоскости BB₁D₁; б) ребро AB и перпендикулярной к плоскости CDA₁.

а) Пусть искомое сечение — плоскость $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AA_1$, значит, прямая $AA_1$ лежит в плоскости $\alpha$. Также по условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1$. Плоскость $BB_1D_1$ является диагональной плоскостью куба, проходящей через диагональ основания $BD$.

Воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Найдем прямую, перпендикулярную плоскости $BB_1D_1$. Рассмотрим диагональ основания $AC$.

1. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$.

2. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как это куб. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания ($AC \subset (ABCD)$), следовательно, $BB_1 \perp AC$.

3. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$) в плоскости $BB_1D_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BB_1D_1$, то есть $AC \perp (BB_1D_1D)$.

Искомая плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $AA_1$ и быть перпендикулярной к $(BB_1D_1D)$. Плоскость, проходящая через ребро $AA_1$ и диагональ $AC$, — это диагональная плоскость $ACC_1A_1$. Эта плоскость содержит прямую $AC$.

Так как плоскость $ACC_1A_1$ содержит прямую $AC$, которая перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(ACC_1A_1) \perp (BB_1D_1D)$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ACC_1A_1$, который является прямоугольником.

Ответ: Сечение куба — прямоугольник $ACC_1A_1$.

б) Пусть искомое сечение — плоскость $\beta$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через ребро $AB$, значит, прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$. Также по условию, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $CDA_1$. Плоскость $CDA_1$ проходит через параллельные ребра $CD$ и $A_1B_1$, поэтому она совпадает с плоскостью $CDA_1B_1$.

Как и в предыдущем пункте, найдем прямую, перпендикулярную плоскости $CDA_1B_1$. Рассмотрим диагональ боковой грани $AD_1$.

1. Ребро $CD$ перпендикулярно грани $ADDA_1$ (так как $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$). Прямая $AD_1$ лежит в этой грани ($AD_1 \subset (ADDA_1)$), следовательно, $CD \perp AD_1$.

2. Грань $ADDA_1$ — это квадрат. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $AD_1 \perp A_1D$.

3. Поскольку прямая $AD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $A_1D$) в плоскости $CDA_1B_1$, то прямая $AD_1$ перпендикулярна всей плоскости $CDA_1B_1$, то есть $AD_1 \perp (CDA_1B_1)$.

Искомая плоскость $\beta$ должна содержать ребро $AB$ и быть перпендикулярной плоскости $CDA_1B_1$. Это означает, что плоскость $\beta$ должна проходить через прямую $AB$ и быть параллельной прямой $AD_1$ (или содержать ее).

Построим сечение. Оно проходит через ребро $AB$. Из точки $B$ проведем прямую, параллельную $AD_1$. Такой прямой является диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$ (векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ равны). Таким образом, сечение проходит через точки $A$, $B$ и $C_1$. Поскольку прямые $AB$ и $C_1D_1$ параллельны, плоскость сечения пересечет верхнюю грань по прямой $C_1D_1$, параллельной $AB$. Значит, четвертая вершина сечения — это точка $D_1$.

Искомое сечение — четырехугольник $ABC_1D_1$. Эта плоскость содержит прямую $AD_1$, которая перпендикулярна плоскости $CDA_1B_1$, значит, $(ABC_1D_1) \perp (CDA_1B_1)$. Условия задачи выполнены.

Четырехугольник $ABC_1D_1$ является прямоугольником, так как ребро $AB$ перпендикулярно грани $ADDA_1$, а значит, и прямой $AD_1$, лежащей в этой грани.

Ответ: Сечение куба — прямоугольник $ABC_1D_1$.

1. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны?

Нет, в общем случае для трехмерного пространства это утверждение неверно. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, могут быть не только параллельными, но также пересекающимися или скрещивающимися.

Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxyz$. Пусть прямая $c$ совпадает с осью аппликат ($Oz$), прямая $a$ — с осью абсцисс ($Ox$), а прямая $b$ — с осью ординат ($Oy$).

По определению прямоугольной системы координат, координатные оси взаимно перпендикулярны. Следовательно, ось $Ox$ перпендикулярна оси $Oz$ (то есть, $a \perp c$), и ось $Oy$ также перпендикулярна оси $Oz$ (то есть, $b \perp c$). Таким образом, условие "две прямые перпендикулярны третьей" выполнено.

Однако прямые $a$ (ось $Ox$) и $b$ (ось $Oy$) не являются параллельными. Они пересекаются в начале координат и сами перпендикулярны друг другу. Это доказывает, что исходное утверждение для пространства в общем случае ложно.

Ответ: нет, утверждение неверно.

Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Да, если все три прямые ($a, b, c$) лежат в одной плоскости, то это утверждение верно. Это одна из теорем евклидовой геометрии на плоскости (планиметрии), которая формулируется так: две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Приведем доказательство этого факта двумя способами.

Способ 1: на основе признака параллельности прямых.
Пусть прямые $a, b, c$ лежат в одной плоскости и по условию $a \perp c$ и $b \perp c$. Рассмотрим прямую $c$ как секущую для прямых $a$ и $b$. При пересечении прямой $a$ секущей $c$ образуются углы, равные $90^\circ$. При пересечении прямой $b$ секущей $c$ также образуются углы, равные $90^\circ$. Выберем пару соответственных углов. Оба они будут равны $90^\circ$. Так как соответственные углы, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$, равны ($90^\circ = 90^\circ$), то по признаку параллельности двух прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Способ 2: методом от противного.
Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Так как они лежат в одной плоскости, они должны пересекаться в некоторой точке $M$. В этом случае получается, что из точки $M$ к прямой $c$ проведены две различные прямые ($a$ и $b$), перпендикулярные ей. Это противоречит аксиоме планиметрии, согласно которой из любой точки плоскости можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной. Следовательно, наше исходное предположение было неверным, а значит, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: да, утверждение верно.

2. Параллельные прямые b и с лежат в плоскости α, а прямая а перпендикулярна к прямой b. Верно ли утверждение: а) прямая а перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость α?

а) прямая ?? перпендикулярна к прямой ??
Данное утверждение верно.
Рассмотрим доказательство. Пусть $\vec{v_a}$, $\vec{v_b}$ и $\vec{v_c}$ — направляющие векторы прямых $a$, $b$ и $c$ соответственно. Угол между прямыми в пространстве определяется как угол между их направляющими векторами. Прямые перпендикулярны, если скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.
1. По условию, прямые $b$ и $c$ параллельны ($b \parallel c$). Это означает, что их направляющие векторы коллинеарны, то есть $\vec{v_c} = k \cdot \vec{v_b}$ для некоторого ненулевого скаляра $k$.
2. По условию, прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$ ($a \perp b$). Это означает, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 0$.
3. Теперь проверим, перпендикулярны ли прямые $a$ и $c$. Для этого нужно вычислить скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{v_a} \cdot \vec{v_c}$:$ \vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = \vec{v_a} \cdot (k \cdot \vec{v_b}) = k \cdot (\vec{v_a} \cdot \vec{v_b}) $
Поскольку из пункта 2 мы знаем, что $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 0$, то получаем:$ \vec{v_a} \cdot \vec{v_c} = k \cdot 0 = 0 $
Так как скалярное произведение направляющих векторов прямых $a$ и $c$ равно нулю, то прямые $a$ и $c$ перпендикулярны. Условие, что прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$, для этого вывода не является необходимым, но оно не противоречит ему.
Ответ: да, утверждение верно.

б) прямая ?? пересекает плоскость ??
Данное утверждение неверно. Чтобы это доказать, достаточно привести один контрпример, где все условия задачи выполняются, а прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$.
Введем в пространстве прямоугольную систему координат $Oxyz$.1. Пусть плоскость $\alpha$ совпадает с координатной плоскостью $Oxy$. Уравнение этой плоскости: $z=0$.2. Пусть прямая $b$ совпадает с осью $Ox$. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.3. Пусть прямая $c$ — это прямая, заданная уравнениями $y=1, z=0$. Она параллельна оси $Ox$ (прямой $b$) и также лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, условия $b \parallel c$ и $b, c \subset \alpha$ выполнены.4. Теперь нужно выбрать прямую $a$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $b$ (оси $Ox$), но при этом не пересекала плоскость $\alpha$ (плоскость $Oxy$).
Прямая перпендикулярна оси $Ox$, если ее направляющий вектор ортогонален вектору $(1,0,0)$. Это выполняется для любой прямой, параллельной плоскости $Oyz$.Прямая не пересекает плоскость $Oxy$, если она ей параллельна и не лежит в ней. Это означает, что все точки прямой должны иметь одну и ту же координату $z$, не равную нулю.
Выберем в качестве прямой $a$ прямую, проходящую через точку $(0,0,1)$ параллельно оси $Oy$. Координаты точек на этой прямой: $(0, y, 1)$.Проверим условия для этой прямой $a$:

• Направляющий вектор прямой $a$ (параллельной $Oy$) — это $\vec{v_a}=(0,1,0)$. Направляющий вектор прямой $b$ (оси $Ox$) — это $\vec{v_b}=(1,0,0)$. Их скалярное произведение: $\vec{v_a} \cdot \vec{v_b} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$. Значит, $a \perp b$. Условие выполнено.
• Пересекает ли прямая $a$ плоскость $\alpha$? Каждая точка прямой $a$ имеет координату $z=1$. Каждая точка плоскости $\alpha$ имеет координату $z=0$. Поскольку $1 \neq 0$, у прямой и плоскости нет общих точек. Следовательно, прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$, а параллельна ей.

Мы построили конфигурацию, в которой все условия задачи выполнены, но вывод (пересечение $a$ и $\alpha$) неверен.
Ответ: нет, утверждение неверно.

3 . Прямая а перпендикулярна к плоскости α, а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного, который опирается на следующую теорему стереометрии.

Теорема о связи параллельности прямых и их перпендикулярности к плоскости: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

По условию задачи нам дано:

• Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, что можно записать как $a \perp \alpha$.
• Прямая $b$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$, что можно записать как $b \not\perp \alpha$.

Теперь сделаем предположение, противоположное тому, что нужно доказать: допустим, что прямые $a$ и $b$ параллельны, то есть $a \parallel b$.

Если наше предположение ($a \parallel b$) верно, и мы знаем из условия, что $a \perp \alpha$, то согласно приведенной выше теореме, прямая $b$ также должна быть перпендикулярна плоскости $\alpha$. Таким образом, мы приходим к выводу, что $b \perp \alpha$.

Этот вывод ($b \perp \alpha$) вступает в прямое противоречие с условием задачи, в котором четко сказано, что прямая $b$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$.

Поскольку наше первоначальное предположение привело к противоречию, оно является неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными.

Ответ: Нет, прямые $a$ и $b$ не могут быть параллельными.

4. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а и b взаимно перпендикулярны?

Да, данное утверждение верно. Приведем доказательство.

Пусть прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), а прямая $b$ перпендикулярна этой же плоскости $\alpha$ ($b \perp \alpha$).

1. Из условия, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, следует, что в плоскости $\alpha$ существует прямая $a'$, которая параллельна прямой $a$. То есть, существует прямая $a' \subset \alpha$ такая, что $a \parallel a'$.

2. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, если прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку прямая $a'$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямая $b$ перпендикулярна прямой $a'$. Математически это записывается как $b \perp a'$.

3. Теперь у нас есть следующие соотношения: $a \parallel a'$ и $b \perp a'$. Воспользуемся теоремой стереометрии: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая прямая перпендикулярна этой третьей прямой. Так как $a \parallel a'$ и $b \perp a'$, из этого следует, что прямые $a$ и $b$ также взаимно перпендикулярны ($a \perp b$).

Таким образом, утверждение о том, что прямые $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны, является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.

5. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и b?

Да, такая прямая существует. Приведем развернутое доказательство этого факта.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), а прямая $b$ перпендикулярна этой же плоскости ($b \perp \alpha$). Нам нужно определить, существует ли прямая $c$, которая была бы перпендикулярна и прямой $a$, и прямой $b$ (то есть $c \perp a$ и $c \perp b$).

1. Установим взаимное расположение прямых $a$ и $b$.

Из того, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, следует, что в плоскости $\alpha$ найдется прямая $a'$, параллельная прямой $a$ ($a' \subset \alpha$ и $a' \parallel a$).

Поскольку прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $a'$. Итак, $b \perp a'$.

В стереометрии есть теорема: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Так как $b \perp a'$ и $a \parallel a'$, то $b \perp a$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ являются перпендикулярными.

2. Докажем существование общего перпендикуляра $c$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ и перпендикулярны друг другу (так как $a \perp b$ и $b' \parallel b$).

Две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\beta$. Проведем через точку $M$ прямую $c$, перпендикулярную плоскости $\beta$. Такая прямая существует и единственна.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $c$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$.

• Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, то $c \perp a$.
• Так как прямая $b'$ лежит в плоскости $\beta$, то $c \perp b'$.

Наконец, поскольку по построению $b' \parallel b$ и мы доказали, что $c \perp b'$, то из этого следует, что $c \perp b$.

Таким образом, мы построили прямую $c$, которая перпендикулярна обеим прямым $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Да, существует.

6. Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?

Да, данное утверждение верно. Приведем развернутое доказательство.

Обозначим данную плоскость как $ \alpha $, а данную прямую как $ l $. Рассмотрим множество всех прямых, которые по условию перпендикулярны плоскости $ \alpha $ и пересекают прямую $ l $.

Ключевым фактом является то, что все прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу. Следовательно, все рассматриваемые нами прямые параллельны между собой.

Проанализируем все возможные взаимные расположения прямой $ l $ и плоскости $ \alpha $.

Случай 1: Прямая $ l $ перпендикулярна плоскости $ \alpha $ ($ l \perp \alpha $).

В этом случае любая прямая, которая перпендикулярна плоскости $ \alpha $ и пересекает прямую $ l $, должна совпадать с самой прямой $ l $. Это следует из теоремы о том, что через любую точку пространства проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости. Если бы существовала другая такая прямая $ m $, то в точке их пересечения (которая лежит на $ l $) через одну точку проходили бы две разные прямые ($ l $ и $ m $), перпендикулярные одной и той же плоскости $ \alpha $, что невозможно. Таким образом, множество искомых прямых состоит из одной единственной прямой — самой прямой $ l $. Одна прямая, очевидно, лежит в одной плоскости (даже в бесконечном множестве плоскостей, проходящих через нее). Следовательно, для этого случая утверждение верно.

Случай 2: Прямая $ l $ не перпендикулярна плоскости $ \alpha $.

Этот случай охватывает ситуации, когда прямая $ l $ параллельна плоскости $ \alpha $, лежит в ней или пересекает ее под углом, отличным от $ 90^\circ $.

Возьмем две произвольные различные точки $ A $ и $ B $ на прямой $ l $. Через точку $ A $ проведем прямую $ a $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $ ($ a \perp \alpha $). Через точку $ B $ проведем прямую $ b $, перпендикулярную плоскости $ \alpha $ ($ b \perp \alpha $).

По определению, прямые $ a $ и $ b $ принадлежат нашему множеству прямых. Так как обе прямые перпендикулярны плоскости $ \alpha $, они параллельны друг другу: $ a \parallel b $.

Через две параллельные прямые $ a $ и $ b $ проходит одна и только одна плоскость. Назовем эту плоскость $ \beta $.

Теперь докажем, что все рассматриваемые прямые лежат в этой плоскости $ \beta $.

Во-первых, сама прямая $ l $ лежит в плоскости $ \beta $. Это следует из того, что две ее точки ($ A $ и $ B $) лежат в этой плоскости (точка $ A $ лежит на прямой $ a \subset \beta $, а точка $ B $ лежит на прямой $ b \subset \beta $). По аксиоме стереометрии, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Во-вторых, возьмем любую другую прямую $ c $ из нашего множества. Эта прямая по определению пересекает прямую $ l $ в некоторой точке $ C $ и перпендикулярна плоскости $ \alpha $.

Поскольку точка $ C $ лежит на прямой $ l $, а прямая $ l $ целиком лежит в плоскости $ \beta $, то точка $ C $ также лежит в плоскости $ \beta $ ($ C \in \beta $).

Прямая $ c $ перпендикулярна $ \alpha $, так же как и прямая $ a $. Следовательно, они параллельны: $ c \parallel a $.

Итак, мы имеем прямую $ c $, которая проходит через точку $ C $ плоскости $ \beta $ и параллельна прямой $ a $, лежащей в этой же плоскости $ \beta $. Из этого следует, что прямая $ c $ также целиком лежит в плоскости $ \beta $.

Поскольку мы выбрали прямую $ c $ произвольно, это означает, что все прямые, перпендикулярные плоскости $ \alpha $ и пересекающие прямую $ l $, лежат в одной и той же плоскости $ \beta $.

Таким образом, в обоих возможных случаях утверждение оказывается верным.

Ответ: Да, утверждение верно.

7. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?

а) параллельными плоскостями;
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть параллельными.

Рассмотрим это на примере в декартовой системе координат. Пусть третья плоскость $\gamma$ — это координатная плоскость $Oxy$. Ее уравнение $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{\gamma} = (0, 0, 1)$.
Пусть первая плоскость $\alpha$ задана уравнением $y=0$ (это плоскость $Oxz$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\alpha} = (0, 1, 0)$.
Пусть вторая плоскость $\beta$ задана уравнением $y=c$, где $c$ — константа, не равная нулю ($c \neq 0$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$.

Проверим условия:
1. Перпендикулярность плоскости $\alpha$ к плоскости $\gamma$. Две плоскости перпендикулярны, если их векторы нормалей перпендикулярны. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\alpha}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы нормалей перпендикулярны, а значит, и плоскости $\alpha \perp \gamma$.

2. Перпендикулярность плоскости $\beta$ к плоскости $\gamma$. Аналогично найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\beta}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\beta} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Следовательно, плоскости $\beta \perp \gamma$.

3. Взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ ($y=0$) и $\beta$ ($y=c$) имеют одинаковый вектор нормали $\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$, но не совпадают, так как $c \neq 0$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Таким образом, мы привели пример двух параллельных плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей.

Ответ: да, могут.

б) перпендикулярными плоскостями?
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть перпендикулярными друг другу.

Приведем геометрическое доказательство. Пусть дана плоскость $\gamma$.
1. В плоскости $\gamma$ выберем две взаимно перпендикулярные прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $P$. То есть $a \subset \gamma$, $b \subset \gamma$ и $a \perp b$.
2. В точке $P$ проведем прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$).
3. Построим плоскость $\alpha$, проходящую через пересекающиеся прямые $a$ и $l$.
4. Построим плоскость $\beta$, проходящую через пересекающиеся прямые $b$ и $l$.

Проверим условия:
- Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она проходит через прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$. (Признак перпендикулярности двух плоскостей).
- Аналогично, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она также проходит через прямую $l$.

Теперь определим взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они пересекаются по прямой $l$. Двугранный угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ измеряется линейным углом, который образован двумя лучами, проведенными в этих плоскостях из одной точки на ребре ($l$) перпендикулярно ему.
- В плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$. Так как $l \perp \gamma$, то $l$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\gamma$, проходящей через точку $P$. Значит, $l \perp a$. - В плоскости $\beta$ лежит прямая $b$. Аналогично, $l \perp b$.
Таким образом, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По построению, прямые $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны ($a \perp b$), поэтому угол между ними равен $90^{\circ}$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ также перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Простым примером служат три координатные плоскости $Oxy, Oxz, Oyz$. Если принять плоскость $Oxy$ за $\gamma$, то плоскости $Oxz$ ($\alpha$) и $Oyz$ ($\beta$) будут перпендикулярны к $Oxy$ и в то же время перпендикулярны друг другу.

Ответ: да, могут.

8. Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

Да, через точку пространства можно провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны.

Чтобы доказать это, воспользуемся методом координат. Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$.

Пусть точка, через которую мы проводим плоскости, — это начало координат, точка $O$ с координатами $(0, 0, 0)$.

В качестве трех искомых плоскостей рассмотрим три координатные плоскости:
1. Плоскость $Oxy$, которая задается уравнением $z = 0$.
2. Плоскость $Oxz$, которая задается уравнением $y = 0$.
3. Плоскость $Oyz$, которая задается уравнением $x = 0$.

Каждая из этих плоскостей проходит через точку $O(0, 0, 0)$, поскольку ее координаты удовлетворяют каждому из трех уравнений.

Теперь необходимо доказать, что эти плоскости попарно перпендикулярны. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Напомним, что нормальный вектор к плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

- Для плоскости $Oxy$ (уравнение $1 \cdot z = 0$) нормальным вектором является любой вектор, коллинеарный оси $Oz$. Возьмем, к примеру, вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.
- Для плоскости $Oxz$ (уравнение $1 \cdot y = 0$) нормальным вектором является любой вектор, коллинеарный оси $Oy$. Возьмем вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 0)$.
- Для плоскости $Oyz$ (уравнение $1 \cdot x = 0$) нормальным вектором является любой вектор, коллинеарный оси $Ox$. Возьмем вектор $\vec{n_3} = (1, 0, 0)$.

Проверим перпендикулярность векторов нормалей, вычислив их попарные скалярные произведения. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
- Скалярное произведение $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$. Следовательно, плоскости $Oxy$ и $Oxz$ перпендикулярны.
- Скалярное произведение $\vec{n_1}$ и $\vec{n_3}$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. Следовательно, плоскости $Oxy$ и $Oyz$ перпендикулярны.
- Скалярное произведение $\vec{n_2}$ и $\vec{n_3}$: $\vec{n_2} \cdot \vec{n_3} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$. Следовательно, плоскости $Oxz$ и $Oyz$ перпендикулярны.

Таким образом, мы показали, что координатные плоскости $Oxy$, $Oxz$ и $Oyz$ проходят через одну точку (начало координат) и являются взаимно перпендикулярными. Это доказывает, что такое построение возможно.

Наглядным примером из жизни является угол комнаты, где пол и две смежные стены пересекаются в одной точке. Пол и стены можно рассматривать как три взаимно перпендикулярные плоскости.

Ответ: Да, можно.

9. Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?

Пусть дан квадрат, его диагонали $d_1$ и $d_2$, и плоскость $\alpha$. По условию задачи, одна из диагоналей, например $d_1$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Математически это записывается как $d_1 \perp \alpha$. Требуется определить, как расположена вторая диагональ, $d_2$, по отношению к плоскости $\alpha$.

Ключевым свойством квадрата является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Таким образом, $d_1 \perp d_2$.

Итак, мы имеем две зависимости:

• Диагональ $d_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
• Диагональ $d_1$ перпендикулярна диагонали $d_2$.

Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если прямая перпендикулярна другой прямой, которая, в свою очередь, перпендикулярна плоскости, то первая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Рассмотрим все возможные случаи, чтобы доказать это утверждение для нашей задачи. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $d_1$ и $d_2$.

1. Случай 1: Точка пересечения диагоналей $O$ лежит в плоскости $\alpha$.
   По определению, если прямая $d_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ и проходит через точку $O$ в этой плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через $O$. Поскольку диагональ $d_2$ проходит через точку $O$ и при этом $d_2 \perp d_1$, то $d_2$ должна быть одной из тех прямых, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, в этом случае диагональ $d_2$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d_2 \subset \alpha$).
2. Случай 2: Точка пересечения диагоналей $O$ не лежит в плоскости $\alpha$.
   Проведем через точку $O$ плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$). Согласно свойству, если прямая ($d_1$) перпендикулярна одной из параллельных плоскостей ($\alpha$), то она перпендикулярна и другой ($\beta$). Таким образом, $d_1 \perp \beta$. Так как $d_1$ проходит через точку $O$, то она перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через $O$. Мы знаем, что $d_2 \perp d_1$ и также проходит через $O$. Это означает, что прямая $d_2$ должна лежать в плоскости $\beta$ ($d_2 \subset \beta$). А так как плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то и прямая $d_2$, лежащая в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$ ($d_2 \parallel \alpha$).

Объединяя оба рассмотренных случая, мы получаем, что вторая диагональ квадрата либо параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Ответ: Другая диагональ квадрата параллельна этой плоскости или лежит в ней.

10. Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

а) тетраэдр

Двугранный угол — это угол, образованный двумя полуплоскостями (гранями), которые исходят из одной общей прямой (ребра). В любом выпуклом многограннике количество двугранных углов равно количеству его рёбер, поскольку каждое ребро является местом пересечения ровно двух смежных граней.

Тетраэдр, также известный как треугольная пирамида, является многогранником, который имеет 4 вершины, 4 треугольные грани и 6 рёбер.

Так как у тетраэдра 6 рёбер, он имеет 6 двугранных углов, каждый из которых соответствует одному из рёбер.

Ответ: $6$.

б) параллелепипед

Аналогично предыдущему пункту, количество двугранных углов в параллелепипеде равно количеству его рёбер.

Параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом. У него 8 вершин, 6 граней и 12 рёбер.

Поскольку у параллелепипеда 12 рёбер, он имеет 12 двугранных углов.

Ответ: $12$.