Номер 1, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

1. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны?

Нет, в общем случае для трехмерного пространства это утверждение неверно. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, могут быть не только параллельными, но также пересекающимися или скрещивающимися.

Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример. Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxyz$. Пусть прямая $c$ совпадает с осью аппликат ($Oz$), прямая $a$ — с осью абсцисс ($Ox$), а прямая $b$ — с осью ординат ($Oy$).

По определению прямоугольной системы координат, координатные оси взаимно перпендикулярны. Следовательно, ось $Ox$ перпендикулярна оси $Oz$ (то есть, $a \perp c$), и ось $Oy$ также перпендикулярна оси $Oz$ (то есть, $b \perp c$). Таким образом, условие "две прямые перпендикулярны третьей" выполнено.

Однако прямые $a$ (ось $Ox$) и $b$ (ось $Oy$) не являются параллельными. Они пересекаются в начале координат и сами перпендикулярны друг другу. Это доказывает, что исходное утверждение для пространства в общем случае ложно.

Ответ: нет, утверждение неверно.

Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Да, если все три прямые ($a, b, c$) лежат в одной плоскости, то это утверждение верно. Это одна из теорем евклидовой геометрии на плоскости (планиметрии), которая формулируется так: две прямые на плоскости, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Приведем доказательство этого факта двумя способами.

Способ 1: на основе признака параллельности прямых.
Пусть прямые $a, b, c$ лежат в одной плоскости и по условию $a \perp c$ и $b \perp c$. Рассмотрим прямую $c$ как секущую для прямых $a$ и $b$. При пересечении прямой $a$ секущей $c$ образуются углы, равные $90^\circ$. При пересечении прямой $b$ секущей $c$ также образуются углы, равные $90^\circ$. Выберем пару соответственных углов. Оба они будут равны $90^\circ$. Так как соответственные углы, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$, равны ($90^\circ = 90^\circ$), то по признаку параллельности двух прямых, прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Способ 2: методом от противного.
Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Так как они лежат в одной плоскости, они должны пересекаться в некоторой точке $M$. В этом случае получается, что из точки $M$ к прямой $c$ проведены две различные прямые ($a$ и $b$), перпендикулярные ей. Это противоречит аксиоме планиметрии, согласно которой из любой точки плоскости можно провести лишь одну прямую, перпендикулярную данной. Следовательно, наше исходное предположение было неверным, а значит, прямые $a$ и $b$ параллельны.

Ответ: да, утверждение верно.