Номер 192, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

192. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной $a$. Требуется найти тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. В качестве диагонали куба выберем $AC_1$, а в качестве плоскости грани — плоскость нижнего основания $ABCD$.

Угол между прямой (в нашем случае, диагональю $AC_1$) и плоскостью (гранью $ABCD$) определяется как угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Найдём проекцию диагонали $AC_1$ на плоскость $ABCD$. Точка $A$ уже принадлежит этой плоскости, поэтому её проекция совпадает с ней самой. Чтобы найти проекцию точки $C_1$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $ABCD$. Таким перпендикуляром является ребро $CC_1$. Следовательно, точка $C$ является проекцией точки $C_1$. Таким образом, проекцией всей диагонали $AC_1$ на плоскость $ABCD$ является диагональ грани $AC$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между наклонной $AC_1$ и её проекцией $AC$, то есть $\alpha = \angle C_1AC$. Этот угол является острым углом в треугольнике $\triangle AC_1C$.

Так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, оно перпендикулярно и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе диагонали $AC$. Значит, треугольник $\triangle AC_1C$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В этом прямоугольном треугольнике катет $CC_1$ является ребром куба, и его длина равна $a$. Катет $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для треугольника $\triangle ABC$, его длина составляет $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Тангенс угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $$ \text{tg}(\alpha) = \frac{CC_1}{AC} $$

Подставив найденные значения длин, получим: $$ \text{tg}(\alpha) = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$