Номер 191, страница 59 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

191. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что плоскости ABC₁ и A₁B₁D перпендикулярны.

Доказательство:

Для доказательства перпендикулярности двух плоскостей достаточно показать, что одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Докажем, что прямая $AD_1$, которая лежит в плоскости $(ABC_1)$, перпендикулярна плоскости $(A_1B_1D)$.

По определению, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. Найдем две такие прямые в плоскости $(A_1B_1D)$ и докажем их перпендикулярность к $AD_1$.

Плоскость $(A_1B_1D)$ задана тремя точками $A_1$, $B_1$ и $D$. Поскольку $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$ — параллельные грани куба, а ребра $A_1B_1$ и $DC$ параллельны и равны по длине, то четырехугольник $A_1B_1CD$ является параллелограммом (и даже прямоугольником). Это означает, что точка $C$ также лежит в плоскости $(A_1B_1D)$. Таким образом, прямые $A_1D$ и $CD$ принадлежат плоскости $(A_1B_1D)$.

1. Докажем, что $AD_1 \perp A_1D$.
Прямые $AD_1$ и $A_1D$ являются диагоналями грани $AA_1D_1D$. Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — куб, его грань $AA_1D_1D$ является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, следовательно, $AD_1 \perp A_1D$.

2. Докажем, что $AD_1 \perp CD$.
Ребро $CD$ перпендикулярно плоскости грани $AA_1D_1D$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $CD \perp AD$ (как стороны квадрата $ABCD$) и $CD \perp DD_1$ (так как ребро $DD_1$ перпендикулярно основанию $ABCD$). Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $AA_1D_1D$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AD_1$ лежит в плоскости $AA_1D_1D$. Следовательно, $CD \perp AD_1$.

Таким образом, мы показали, что прямая $AD_1$ перпендикулярна двум прямым, $A_1D$ и $CD$, которые лежат в плоскости $(A_1B_1D)$ и пересекаются в точке $D$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD_1$ перпендикулярна плоскости $(A_1B_1D)$.

Прямая $AD_1$ лежит в плоскости $(ABC_1)$, так как точки $A$ и $D_1$ принадлежат этой плоскости (четырехугольник $ABC_1D_1$ является прямоугольником, поэтому его вершины лежат в одной плоскости).

Поскольку плоскость $(ABC_1)$ содержит прямую $AD_1$, перпендикулярную плоскости $(A_1B_1D)$, то по признаку перпендикулярности двух плоскостей, плоскости $(ABC_1)$ и $(A_1B_1D)$ перпендикулярны.

Ответ: Плоскости $ABC_1$ и $A_1B_1D$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.