Номер 190, страница 59 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

190. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите следующие двугранные углы: а) ABВ₁С; б) ADD₁B; в) А₁ВB₁K, где K — середина ребра A₁D₁.

а) Двугранный угол, обозначенный как $ABB_1C$, образован плоскостями, проходящими через точки $(A, B, B_1)$ и $(C, B, B_1)$. Эти плоскости являются гранями куба. Плоскость $(ABB_1)$ — это передняя грань куба $(ABB_1A_1)$. Плоскость $(CBB_1)$ — это правая боковая грань куба $(BCC_1B_1)$. Линией пересечения этих двух плоскостей является ребро $BB_1$.
Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры к линии их пересечения $BB_1$ из одной точки. Выберем точку $B_1$ на ребре $BB_1$.
В плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$ ребро $A_1B_1$ перпендикулярно ребру $BB_1$, так как грань является квадратом.
В плоскости правой грани $(BCC_1B_1)$ ребро $C_1B_1$ перпендикулярно ребру $BB_1$ по той же причине.
Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является угол $\angle A_1B_1C_1$.
Угол $\angle A_1B_1C_1$ является углом верхней грани-квадрата $A_1B_1C_1D_1$, поэтому его величина составляет $90^{\circ}$.
Ответ: $90^{\circ}$.

б) Двугранный угол $ADD_1B$ образован плоскостью грани $(ADD_1A_1)$ и диагональной плоскостью $(BDD_1B_1)$.
Линией пересечения этих плоскостей является ребро $DD_1$.
Для построения линейного угла выберем точку $D$ на ребре $DD_1$.
В плоскости левой грани $(ADD_1A_1)$ ребро $AD$ перпендикулярно ребру $DD_1$ ($AD \perp DD_1$).
В диагональной плоскости $(BDD_1B_1)$ диагональ основания $BD$ перпендикулярна ребру $DD_1$, так как ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $(ABCD)$, в которой лежит $BD$ ($BD \perp DD_1$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла является угол $\angle ADB$.
Рассмотрим треугольник $ABD$, который лежит в плоскости основания $ABCD$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $\angle DAB = 90^{\circ}$, а катеты $AD$ и $AB$ равны ребру куба. Пусть ребро куба равно $a$.
В прямоугольном треугольнике $ABD$ тангенс угла $\angle ADB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle ADB) = \frac{AB}{AD} = \frac{a}{a} = 1$.
Отсюда, $\angle ADB = 45^{\circ}$.
Ответ: $45^{\circ}$.

в) Двугранный угол $A_1BB_1K$ образован плоскостью передней грани $(A_1B_1BA)$ и плоскостью $(KBB_1)$, где $K$ — середина ребра $A_1D_1$.
Линией пересечения этих плоскостей является ребро $BB_1$.
Для построения линейного угла выберем точку $B_1$ на ребре $BB_1$.
В плоскости передней грани $(A_1B_1BA)$ ребро $A_1B_1$ перпендикулярно $BB_1$ ($A_1B_1 \perp BB_1$).
В плоскости $(KBB_1)$ рассмотрим отрезок $KB_1$. Этот отрезок лежит в плоскости верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхней грани, а значит, перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $KB_1$ ($KB_1 \perp BB_1$).
Следовательно, линейным углом двугранного угла является угол $\angle A_1B_1K$.
Этот угол находится в плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Рассмотрим треугольник $A_1B_1K$. Он прямоугольный, так как $\angle D_1A_1B_1 = 90^{\circ}$.
Пусть ребро куба равно $a$. Тогда катет $A_1B_1 = a$.
Точка $K$ — середина $A_1D_1$, значит, катет $A_1K = \frac{A_1D_1}{2} = \frac{a}{2}$.
Тангенс угла $\angle A_1B_1K$ в прямоугольном треугольнике $A_1B_1K$ равен:
$\tan(\angle A_1B_1K) = \frac{A_1K}{A_1B_1} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.
Искомый угол равен $\arctan(\frac{1}{2})$.
Ответ: $\arctan(\frac{1}{2})$.