Номер 193, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

193. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ дано: D₁B = d, АС = m, AB = n. Найдите расстояние между: а) прямой А₁С₁ и плоскостью ABC; б) плоскостями ABВ₁ и DCC₁; в) прямой DD₁ и плоскостью АСС₁.

Для решения задачи сначала найдем измерения прямоугольного параллелепипеда $a, b, c$, где $a = AB$ (длина), $b = AD$ (ширина), $c = AA_1$ (высота).

Из условия задачи нам дано:

Длина ребра $AB = n$. Таким образом, измерение $a = n$.

Диагональ основания $AC = m$. Основание $ABCD$ — это прямоугольник, следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Поскольку в прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны, $BC = AD = b$. Подставив известные значения, получаем: $m^2 = n^2 + b^2$. Отсюда выразим $b$: $b^2 = m^2 - n^2$, что дает нам ширину $b = AD = \sqrt{m^2 - n^2}$.

Диагональ параллелепипеда $D_1B = d$. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты): $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Подставим уже найденные выражения для $a$ и $b^2$: $d^2 = n^2 + (m^2 - n^2) + c^2$. Упростив, получаем $d^2 = m^2 + c^2$. Из этого уравнения находим высоту $c$: $c^2 = d^2 - m^2$, следовательно, $c = AA_1 = \sqrt{d^2 - m^2}$.

Таким образом, мы определили все измерения параллелепипеда: $AB = n$, $AD = \sqrt{m^2 - n^2}$, $AA_1 = \sqrt{d^2 - m^2}$.

а) расстояние между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $ABC$

Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания. В прямоугольном параллелепипеде плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны друг другу.

Расстояние от прямой, лежащей в одной из параллельных плоскостей, до другой плоскости равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями оснований $A_1B_1C_1D_1$ и $ABC$ равно длине любого бокового ребра, так как все они перпендикулярны основаниям. Возьмем ребро $AA_1$.

Следовательно, искомое расстояние равно длине высоты параллелепипеда, то есть $c = AA_1$.

Ответ: $\sqrt{d^2 - m^2}$

б) расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DCC_1$

Плоскости $ABB_1$ (грань $ABB_1A_1$) и $DCC_1$ (грань $DCC_1D_1$) являются противоположными боковыми гранями прямоугольного параллелепипеда. По определению, эти грани параллельны.

Расстояние между двумя параллельными гранями равно длине ребра, перпендикулярного им. Ребро $AD$ перпендикулярно ребру $AB$ и ребру $AA_1$, которые определяют плоскость $ABB_1A_1$. Значит, ребро $AD$ перпендикулярно всей плоскости $ABB_1A_1$ и является общим перпендикуляром для данных плоскостей.

Таким образом, искомое расстояние равно длине ребра $AD$, то есть $b$.

Ответ: $\sqrt{m^2 - n^2}$

в) расстояние между прямой $DD_1$ и плоскостью $ACC_1$

Прямая $DD_1$ — это боковое ребро, а плоскость $ACC_1$ (полное название $ACC_1A_1$) — это диагональная плоскость параллелепипеда.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, боковые ребра $DD_1$ и $AA_1$ параллельны ($DD_1 \parallel AA_1$). Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$. Если прямая не лежит в плоскости и параллельна некоторой прямой в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости. Следовательно, $DD_1 \parallel ACC_1A_1$.

Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до данной плоскости. Выберем точку $D$ на прямой $DD_1$ и найдем расстояние от нее до плоскости $ACC_1A_1$.

Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на плоскость $ACC_1A_1$. Рассмотрим основание $ABCD$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ (с прямым углом $\angle D$), проведем высоту $DH$ к гипотенузе $AC$. Таким образом, $DH \perp AC$.

Так как боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно всей плоскости основания $ABCD$, то оно перпендикулярно и любой прямой в этой плоскости, в частности $AA_1 \perp DH$.

Поскольку прямая $DH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$) в плоскости $ACC_1A_1$, она перпендикулярна и самой плоскости. Значит, длина отрезка $DH$ и есть искомое расстояние.

Найдем длину высоты $DH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$. Его катеты $CD = AB = n$ и $AD = \sqrt{m^2 - n^2}$, а гипотенуза $AC = m$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами: $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} n \sqrt{m^2 - n^2}$. $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} m \cdot DH$.

Приравняв оба выражения для площади, получим: $\frac{1}{2} m \cdot DH = \frac{1}{2} n \sqrt{m^2 - n^2}$.

Отсюда $DH = \frac{n \sqrt{m^2 - n^2}}{m}$.

Ответ: $\frac{n\sqrt{m^2 - n^2}}{m}$