Номер 196, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

196. Изобразите куб ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА₁ и перпендикулярной к плоскости BB₁D₁; б) ребро AB и перпендикулярной к плоскости CDA₁.

а) Пусть искомое сечение — плоскость $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AA_1$, значит, прямая $AA_1$ лежит в плоскости $\alpha$. Также по условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $BB_1D_1$. Плоскость $BB_1D_1$ является диагональной плоскостью куба, проходящей через диагональ основания $BD$.

Воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Найдем прямую, перпендикулярную плоскости $BB_1D_1$. Рассмотрим диагональ основания $AC$.

1. В основании куба лежит квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $AC \perp BD$.

2. Ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, так как это куб. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания ($AC \subset (ABCD)$), следовательно, $BB_1 \perp AC$.

3. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $BB_1$) в плоскости $BB_1D_1$, то прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $BB_1D_1$, то есть $AC \perp (BB_1D_1D)$.

Искомая плоскость $\alpha$ должна содержать прямую $AA_1$ и быть перпендикулярной к $(BB_1D_1D)$. Плоскость, проходящая через ребро $AA_1$ и диагональ $AC$, — это диагональная плоскость $ACC_1A_1$. Эта плоскость содержит прямую $AC$.

Так как плоскость $ACC_1A_1$ содержит прямую $AC$, которая перпендикулярна плоскости $BB_1D_1D$, то по признаку перпендикулярности плоскостей $(ACC_1A_1) \perp (BB_1D_1D)$.

Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ACC_1A_1$, который является прямоугольником.

Ответ: Сечение куба — прямоугольник $ACC_1A_1$.

б) Пусть искомое сечение — плоскость $\beta$. По условию, плоскость $\beta$ проходит через ребро $AB$, значит, прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$. Также по условию, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $CDA_1$. Плоскость $CDA_1$ проходит через параллельные ребра $CD$ и $A_1B_1$, поэтому она совпадает с плоскостью $CDA_1B_1$.

Как и в предыдущем пункте, найдем прямую, перпендикулярную плоскости $CDA_1B_1$. Рассмотрим диагональ боковой грани $AD_1$.

1. Ребро $CD$ перпендикулярно грани $ADDA_1$ (так как $CD \perp AD$ и $CD \perp DD_1$). Прямая $AD_1$ лежит в этой грани ($AD_1 \subset (ADDA_1)$), следовательно, $CD \perp AD_1$.

2. Грань $ADDA_1$ — это квадрат. Диагонали квадрата перпендикулярны, следовательно, $AD_1 \perp A_1D$.

3. Поскольку прямая $AD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($CD$ и $A_1D$) в плоскости $CDA_1B_1$, то прямая $AD_1$ перпендикулярна всей плоскости $CDA_1B_1$, то есть $AD_1 \perp (CDA_1B_1)$.

Искомая плоскость $\beta$ должна содержать ребро $AB$ и быть перпендикулярной плоскости $CDA_1B_1$. Это означает, что плоскость $\beta$ должна проходить через прямую $AB$ и быть параллельной прямой $AD_1$ (или содержать ее).

Построим сечение. Оно проходит через ребро $AB$. Из точки $B$ проведем прямую, параллельную $AD_1$. Такой прямой является диагональ $BC_1$ грани $BCC_1B_1$ (векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ равны). Таким образом, сечение проходит через точки $A$, $B$ и $C_1$. Поскольку прямые $AB$ и $C_1D_1$ параллельны, плоскость сечения пересечет верхнюю грань по прямой $C_1D_1$, параллельной $AB$. Значит, четвертая вершина сечения — это точка $D_1$.

Искомое сечение — четырехугольник $ABC_1D_1$. Эта плоскость содержит прямую $AD_1$, которая перпендикулярна плоскости $CDA_1B_1$, значит, $(ABC_1D_1) \perp (CDA_1B_1)$. Условия задачи выполнены.

Четырехугольник $ABC_1D_1$ является прямоугольником, так как ребро $AB$ перпендикулярно грани $ADDA_1$, а значит, и прямой $AD_1$, лежащей в этой грани.

Ответ: Сечение куба — прямоугольник $ABC_1D_1$.