Номер 7, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: коричневый с ромбами
ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Вопросы к главе 2. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 7, страница 60.
№7 (с. 60)
Условие. №7 (с. 60)
скриншот условия

7. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?
Решение 2. №7 (с. 60)


Решение 6. №7 (с. 60)
а) параллельными плоскостями;
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть параллельными.
Рассмотрим это на примере в декартовой системе координат. Пусть третья плоскость $\gamma$ — это координатная плоскость $Oxy$. Ее уравнение $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{\gamma} = (0, 0, 1)$.
Пусть первая плоскость $\alpha$ задана уравнением $y=0$ (это плоскость $Oxz$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\alpha} = (0, 1, 0)$.
Пусть вторая плоскость $\beta$ задана уравнением $y=c$, где $c$ — константа, не равная нулю ($c \neq 0$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$.
Проверим условия:
1. Перпендикулярность плоскости $\alpha$ к плоскости $\gamma$. Две плоскости перпендикулярны, если их векторы нормалей перпендикулярны. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\alpha}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы нормалей перпендикулярны, а значит, и плоскости $\alpha \perp \gamma$.
2. Перпендикулярность плоскости $\beta$ к плоскости $\gamma$. Аналогично найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\beta}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\beta} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Следовательно, плоскости $\beta \perp \gamma$.
3. Взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ ($y=0$) и $\beta$ ($y=c$) имеют одинаковый вектор нормали $\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$, но не совпадают, так как $c \neq 0$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).
Таким образом, мы привели пример двух параллельных плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей.
Ответ: да, могут.
б) перпендикулярными плоскостями?
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть перпендикулярными друг другу.
Приведем геометрическое доказательство. Пусть дана плоскость $\gamma$.
1. В плоскости $\gamma$ выберем две взаимно перпендикулярные прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $P$. То есть $a \subset \gamma$, $b \subset \gamma$ и $a \perp b$.
2. В точке $P$ проведем прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$).
3. Построим плоскость $\alpha$, проходящую через пересекающиеся прямые $a$ и $l$.
4. Построим плоскость $\beta$, проходящую через пересекающиеся прямые $b$ и $l$.
Проверим условия:
- Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она проходит через прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$. (Признак перпендикулярности двух плоскостей).
- Аналогично, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она также проходит через прямую $l$.
Теперь определим взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они пересекаются по прямой $l$. Двугранный угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ измеряется линейным углом, который образован двумя лучами, проведенными в этих плоскостях из одной точки на ребре ($l$) перпендикулярно ему.
- В плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$. Так как $l \perp \gamma$, то $l$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\gamma$, проходящей через точку $P$. Значит, $l \perp a$. - В плоскости $\beta$ лежит прямая $b$. Аналогично, $l \perp b$.
Таким образом, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По построению, прямые $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны ($a \perp b$), поэтому угол между ними равен $90^{\circ}$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ также перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).
Простым примером служат три координатные плоскости $Oxy, Oxz, Oyz$. Если принять плоскость $Oxy$ за $\gamma$, то плоскости $Oxz$ ($\alpha$) и $Oyz$ ($\beta$) будут перпендикулярны к $Oxy$ и в то же время перпендикулярны друг другу.
Ответ: да, могут.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 60 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №7 (с. 60), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.