Номер 7, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 2. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 7, страница 60.

Условие.

7. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?

Решение 2.

Решение 6.

а) параллельными плоскостями;
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть параллельными.

Рассмотрим это на примере в декартовой системе координат. Пусть третья плоскость $\gamma$ — это координатная плоскость $Oxy$. Ее уравнение $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{\gamma} = (0, 0, 1)$.
Пусть первая плоскость $\alpha$ задана уравнением $y=0$ (это плоскость $Oxz$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\alpha} = (0, 1, 0)$.
Пусть вторая плоскость $\beta$ задана уравнением $y=c$, где $c$ — константа, не равная нулю ($c \neq 0$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$.

Проверим условия:
1. Перпендикулярность плоскости $\alpha$ к плоскости $\gamma$. Две плоскости перпендикулярны, если их векторы нормалей перпендикулярны. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\alpha}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы нормалей перпендикулярны, а значит, и плоскости $\alpha \perp \gamma$.

2. Перпендикулярность плоскости $\beta$ к плоскости $\gamma$. Аналогично найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\beta}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\beta} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Следовательно, плоскости $\beta \perp \gamma$.

3. Взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ ($y=0$) и $\beta$ ($y=c$) имеют одинаковый вектор нормали $\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$, но не совпадают, так как $c \neq 0$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Таким образом, мы привели пример двух параллельных плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей.

Ответ: да, могут.

б) перпендикулярными плоскостями?
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть перпендикулярными друг другу.

Приведем геометрическое доказательство. Пусть дана плоскость $\gamma$.
1. В плоскости $\gamma$ выберем две взаимно перпендикулярные прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $P$. То есть $a \subset \gamma$, $b \subset \gamma$ и $a \perp b$.
2. В точке $P$ проведем прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$).
3. Построим плоскость $\alpha$, проходящую через пересекающиеся прямые $a$ и $l$.
4. Построим плоскость $\beta$, проходящую через пересекающиеся прямые $b$ и $l$.

Проверим условия:
- Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она проходит через прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$. (Признак перпендикулярности двух плоскостей).
- Аналогично, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она также проходит через прямую $l$.

Теперь определим взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они пересекаются по прямой $l$. Двугранный угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ измеряется линейным углом, который образован двумя лучами, проведенными в этих плоскостях из одной точки на ребре ($l$) перпендикулярно ему.
- В плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$. Так как $l \perp \gamma$, то $l$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\gamma$, проходящей через точку $P$. Значит, $l \perp a$. - В плоскости $\beta$ лежит прямая $b$. Аналогично, $l \perp b$.
Таким образом, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По построению, прямые $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны ($a \perp b$), поэтому угол между ними равен $90^{\circ}$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ также перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Простым примером служат три координатные плоскости $Oxy, Oxz, Oyz$. Если принять плоскость $Oxy$ за $\gamma$, то плоскости $Oxz$ ($\alpha$) и $Oyz$ ($\beta$) будут перпендикулярны к $Oxy$ и в то же время перпендикулярны друг другу.

Ответ: да, могут.