Номер 7, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва Л. С.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2019 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: коричневый с ромбами

ISBN: 978-5-09-103606-0 (2023)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Вопросы к главе 2. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 7, страница 60.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№7 (с. 60)
Условие. №7 (с. 60)
скриншот условия
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 60, номер 7, Условие

7. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?

Решение 2. №7 (с. 60)
Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 60, номер 7, Решение 2 Геометрия, 10-11 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Киселёва Людмила Сергеевна, издательство Просвещение, Москва, 2019, коричневого цвета, страница 60, номер 7, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 6. №7 (с. 60)

а) параллельными плоскостями;
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть параллельными.

Рассмотрим это на примере в декартовой системе координат. Пусть третья плоскость $\gamma$ — это координатная плоскость $Oxy$. Ее уравнение $z=0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}_{\gamma} = (0, 0, 1)$.
Пусть первая плоскость $\alpha$ задана уравнением $y=0$ (это плоскость $Oxz$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\alpha} = (0, 1, 0)$.
Пусть вторая плоскость $\beta$ задана уравнением $y=c$, где $c$ — константа, не равная нулю ($c \neq 0$). Вектор ее нормали $\vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$.

Проверим условия:
1. Перпендикулярность плоскости $\alpha$ к плоскости $\gamma$. Две плоскости перпендикулярны, если их векторы нормалей перпендикулярны. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\alpha}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы нормалей перпендикулярны, а значит, и плоскости $\alpha \perp \gamma$.

2. Перпендикулярность плоскости $\beta$ к плоскости $\gamma$. Аналогично найдем скалярное произведение векторов $\vec{n}_{\beta}$ и $\vec{n}_{\gamma}$:
$\vec{n}_{\beta} \cdot \vec{n}_{\gamma} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$.
Следовательно, плоскости $\beta \perp \gamma$.

3. Взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Плоскости $\alpha$ ($y=0$) и $\beta$ ($y=c$) имеют одинаковый вектор нормали $\vec{n}_{\alpha} = \vec{n}_{\beta} = (0, 1, 0)$, но не совпадают, так как $c \neq 0$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Таким образом, мы привели пример двух параллельных плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей.

Ответ: да, могут.

б) перпендикулярными плоскостями?
Да, две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, могут быть перпендикулярными друг другу.

Приведем геометрическое доказательство. Пусть дана плоскость $\gamma$.
1. В плоскости $\gamma$ выберем две взаимно перпендикулярные прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $P$. То есть $a \subset \gamma$, $b \subset \gamma$ и $a \perp b$.
2. В точке $P$ проведем прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$ ($l \perp \gamma$).
3. Построим плоскость $\alpha$, проходящую через пересекающиеся прямые $a$ и $l$.
4. Построим плоскость $\beta$, проходящую через пересекающиеся прямые $b$ и $l$.

Проверим условия:
- Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она проходит через прямую $l$, перпендикулярную плоскости $\gamma$. (Признак перпендикулярности двух плоскостей).
- Аналогично, плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, так как она также проходит через прямую $l$.

Теперь определим взаимное расположение плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Они пересекаются по прямой $l$. Двугранный угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ измеряется линейным углом, который образован двумя лучами, проведенными в этих плоскостях из одной точки на ребре ($l$) перпендикулярно ему.
- В плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$. Так как $l \perp \gamma$, то $l$ перпендикулярна любой прямой в плоскости $\gamma$, проходящей через точку $P$. Значит, $l \perp a$. - В плоскости $\beta$ лежит прямая $b$. Аналогично, $l \perp b$.
Таким образом, угол между прямыми $a$ и $b$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По построению, прямые $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны ($a \perp b$), поэтому угол между ними равен $90^{\circ}$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ также перпендикулярны ($\alpha \perp \beta$).

Простым примером служат три координатные плоскости $Oxy, Oxz, Oyz$. Если принять плоскость $Oxy$ за $\gamma$, то плоскости $Oxz$ ($\alpha$) и $Oyz$ ($\beta$) будут перпендикулярны к $Oxy$ и в то же время перпендикулярны друг другу.

Ответ: да, могут.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10-11 класс, для упражнения номер 7 расположенного на странице 60 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №7 (с. 60), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Киселёва (Людмила Сергеевна), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться