Номер 199, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Обозначим вершины прямоугольного треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $AB$ — гипотенуза. По условию задачи, точка $S$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $SA = SB = SC$, и точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$.

Для доказательства того, что прямая $SM$ перпендикулярна плоскости треугольника $(ABC)$, нужно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве этих прямых выберем гипотенузу $AB$ и медиану $MC$.

1. Доказательство перпендикулярности $SM$ и $AB$ ($SM \perp AB$)

Рассмотрим треугольник $ASB$. Поскольку по условию $SA = SB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Отрезок $SM$ соединяет вершину $S$ с серединой основания $M$, следовательно, $SM$ является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $SM \perp AB$.

2. Доказательство перпендикулярности $SM$ и $MC$ ($SM \perp MC$)

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Отрезок $CM$ — это медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине гипотенузы: $CM = \frac{1}{2}AB$. Так как $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{1}{2}AB$. Отсюда следует, что $AM = CM$.

Теперь сравним треугольники $\triangle SMA$ и $\triangle SMC$.
- Сторона $SA = SC$ (по условию).
- Сторона $AM = CM$ (как показано выше).
- Сторона $SM$ — общая.
Следовательно, $\triangle SMA \cong \triangle SMC$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle SMA = \angle SMC$.
Из пункта 1 мы знаем, что $SM \perp AB$, что означает $\angle SMA = 90^\circ$.
Следовательно, $\angle SMC$ также равен $90^\circ$, что доказывает, что $SM \perp MC$.

3. Заключение

Мы установили, что прямая $SM$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $M$ прямым $AB$ и $MC$, которые лежат в плоскости треугольника $ABC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Таким образом, прямая $SM$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано.