Номер 203, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки K до сторон треугольника, если AB = ВС = 10 см, АС = 12 см, OK = 4 см.

Поскольку треугольник $ABC$ имеет две равные стороны $AB = BC = 10$ см, он является равнобедренным. Точка $O$ — центр вписанной окружности, значит, она равноудалена от всех сторон треугольника. Расстояние от центра вписанной окружности до любой из сторон равно радиусу этой окружности $r$.

Пусть $M$, $N$ и $P$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда отрезки $OM$, $ON$ и $OP$ перпендикулярны сторонам треугольника, и их длины равны радиусу вписанной окружности: $OM = ON = OP = r$.

Прямая $OK$ по условию перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $K$ до стороны треугольника, например, до стороны $AC$, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AC$. Обозначим этот перпендикуляр $KP'$.

Рассмотрим проекцию наклонной $KP'$ на плоскость треугольника $ABC$. Это отрезок $OP'$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $KP'$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $OP'$ перпендикулярна $AC$. Так как из точки $O$ на прямую $AC$ можно опустить только один перпендикуляр, то точка $P'$ совпадает с точкой касания $P$. Таким образом, расстояние от точки $K$ до стороны $AC$ равно длине отрезка $KP$.

Так как $OK \perp (ABC)$, то $OK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. В частности, $OK \perp OP$. Следовательно, треугольник $KOP$ является прямоугольным с катетами $OK$ и $OP$. По теореме Пифагора, $KP^2 = OK^2 + OP^2$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника ($OM = ON = OP = r$), то и расстояния от точки $K$ до всех сторон треугольника будут равны:
$KM = KN = KP = \sqrt{OK^2 + r^2}$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Найдем площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$
$S = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Теперь, зная $r=OP=3$ см и $OK=4$ см, можем найти искомое расстояние $KP$:
$KP = \sqrt{OK^2 + OP^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Расстояние от точки $K$ до всех сторон треугольника $ABC$ одинаково и равно 5 см.

Ответ: 5 см.