Номер 209, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

209. Углы между равными отрезками AB и АС и плоскостью α, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости α.

Пусть $d_B$ — расстояние от точки B до плоскости $\alpha$, а $d_C$ — расстояние от точки C до плоскости $\alpha$.

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Опустим перпендикуляры $BB'$ и $CC'$ из точек B и C на плоскость $\alpha$. Таким образом, $d_B = BB'$ и $d_C = CC'$.

Углом между наклонной (в нашем случае, отрезком) и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Поскольку точка A принадлежит плоскости $\alpha$, проекцией отрезка AB на плоскость $\alpha$ будет отрезок $AB'$, а проекцией отрезка AC будет отрезок $AC'$.

Следовательно, по определению:

• Угол между отрезком AB и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle BAB'$, который по условию равен $40^\circ$.
• Угол между отрезком AC и плоскостью $\alpha$ — это угол $\angle CAC'$, который по условию равен $50^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABB'$ (угол $\angle AB'B = 90^\circ$, так как $BB'$ — перпендикуляр к плоскости). В этом треугольнике катет $BB'$ (расстояние от точки B до плоскости) можно выразить через гипотенузу AB и синус противолежащего угла $\angle BAB'$:
$d_B = BB' = AB \cdot \sin(\angle BAB') = AB \cdot \sin(40^\circ)$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACC'$ (угол $\angle AC'C = 90^\circ$, так как $CC'$ — перпендикуляр к плоскости). Катет $CC'$ (расстояние от точки C до плоскости) выражается через гипотенузу AC и синус противолежащего угла $\angle CAC'$:
$d_C = CC' = AC \cdot \sin(\angle CAC') = AC \cdot \sin(50^\circ)$.

По условию задачи отрезки AB и AC равны: $AB = AC$. Обозначим их длину буквой $L$.
Тогда получаем:
$d_B = L \cdot \sin(40^\circ)$
$d_C = L \cdot \sin(50^\circ)$

Для сравнения расстояний $d_B$ и $d_C$ необходимо сравнить значения $\sin(40^\circ)$ и $\sin(50^\circ)$. Функция $y = \sin(x)$ является возрастающей на интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$. Поскольку $0^\circ < 40^\circ < 50^\circ < 90^\circ$, то справедливо неравенство:
$\sin(40^\circ) < \sin(50^\circ)$

Так как длина отрезков $L$ является положительной величиной ($L > 0$), мы можем умножить обе части неравенства на $L$, не меняя знака неравенства:
$L \cdot \sin(40^\circ) < L \cdot \sin(50^\circ)$
Отсюда следует, что $d_B < d_C$.

Ответ: Расстояние от точки B до плоскости $\alpha$ меньше, чем расстояние от точки C до плоскости $\alpha$.