Номер 213, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

213. Правильные треугольники ABC и DВС расположены так, что вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Пусть сторона правильных треугольников $ABC$ и $DBC$ равна $a$. Таким образом, $AB = BC = CA = DB = DC = a$.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения в одной точке. Линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(DBC)$ является прямая $BC$.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $ABC$ правильный, $AM$ также является медианой, и $AM \perp BC$. Длина высоты в правильном треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в треугольнике $DBC$ проведем высоту $DM$ к стороне $BC$. Так как треугольник $DBC$ правильный и имеет общую сторону $BC$, его высота $DM$ также будет проведена к середине стороны $BC$, то есть к точке $M$. Таким образом, $DM \perp BC$. Длина высоты $DM$ также равна $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По определению, искомый двугранный угол между плоскостями $(ABC)$ и $(DBC)$ — это линейный угол, образованный лучами $MA$ и $MD$. То есть, это угол $\angle AMD$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

По условию задачи, вершина $D$ проектируется в центр $O$ треугольника $ABC$. Это означает, что отрезок $DO$ является перпендикуляром к плоскости $(ABC)$. Следовательно, $DO \perp (ABC)$.

Поскольку отрезок $AM$ лежит в плоскости $(ABC)$ и проходит через точку $O$ (так как $AM$ - медиана, а $O$ - центр), то $DO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$, в том числе и прямой $AM$. Значит, $DO \perp AM$. Таким образом, треугольник $DOM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DOM$.

Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, который является точкой пересечения его медиан. Медианы в точке пересечения делятся в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, точка $O$ делит медиану $AM$ так, что $AO:OM = 2:1$. Отсюда следует, что $OM = \frac{1}{3} AM$.

Найдем длину отрезка $OM$: $OM = \frac{1}{3} \cdot AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $DOM$. В нем гипотенузой является отрезок $DM$ длиной $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, а катетом, прилежащим к углу $\alpha = \angle AMD$, является отрезок $OM$ длиной $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Косинус угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $DOM$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\alpha) = \cos(\angle AMD) = \frac{OM}{DM}$.

Подставим известные значения длин отрезков: $\cos(\alpha) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{2}{a\sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен арккосинусу от $\frac{1}{3}$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.