Номер 210, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

210. На рисунке 69 двугранные углы НABP и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости ABP равноудалена от плоскостей ABH и ABQ.

По условию задачи, двугранные углы HABP и PABQ равны. Двугранный угол HABP образован плоскостями ABH и ABP с общим ребром AB. Двугранный угол PABQ образован плоскостями ABP и ABQ с тем же общим ребром AB.

Равенство этих двугранных углов означает, что плоскость ABP является биссекторной плоскостью для двугранного угла, образованного плоскостями ABH и ABQ. По свойству биссекторной плоскости, каждая ее точка равноудалена от граней двугранного угла (в данном случае, от плоскостей ABH и ABQ). Докажем это утверждение строго.

Выберем произвольную точку $M$ в плоскости ABP. Нам необходимо доказать, что расстояние от точки $M$ до плоскости ABH равно расстоянию от $M$ до плоскости ABQ.

1. Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MO$ к прямой $AB$. Точка $O$ будет лежать на прямой $AB$.

2. Через точку $O$ проведем плоскость $\Sigma$, перпендикулярную прямой $AB$. Прямая $MO$ лежит в этой плоскости $\Sigma$, так как $MO \perp AB$.

3. Построим линейные углы для наших двугранных углов. Для этого проведем в плоскости ABH луч $OH_1$ перпендикулярно $AB$ и в плоскости ABQ луч $OQ_1$ перпендикулярно $AB$. Оба луча, $OH_1$ и $OQ_1$, лежат в плоскости $\Sigma$.

4. Луч $OM$ также лежит в плоскости $\Sigma$. Угол $\angle H_1OM$ является линейным углом двугранного угла HABP. Угол $\angle MOQ_1$ является линейным углом двугранного угла PABQ.

5. По условию, двугранные углы равны, следовательно, равны и их линейные углы: $\angle H_1OM = \angle MOQ_1$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла $\angle H_1OQ_1$.

6. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

7. Опустим из точки $M$ перпендикуляр $MH'$ на прямую $OH_1$. Так как $MH'$ лежит в плоскости $\Sigma$ и $\Sigma \perp AB$, то $MH' \perp AB$. Поскольку $MH'$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($OH_1$ и $AB$) в плоскости ABH, то $MH'$ является перпендикуляром ко всей плоскости ABH. Длина $MH'$ — это искомое расстояние от $M$ до плоскости ABH.

8. Аналогично, опустим из $M$ перпендикуляр $MQ'$ на прямую $OQ_1$. $MQ'$ будет перпендикуляром к плоскости ABQ, и его длина — это расстояние от $M$ до этой плоскости.

9. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMH'$ и $\triangle OMQ'$ в плоскости $\Sigma$. Они имеют общую гипотенузу $OM$ и равные острые углы ($\angle MOH_1 = \angle MOQ_1$, так как $OM$ — биссектриса угла $\angle H_1OQ_1$). Следовательно, треугольники $\triangle OMH'$ и $\triangle OMQ'$ равны по гипотенузе и острому углу.

10. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $MH' = MQ'$.

Так как точка $M$ была выбрана произвольно в плоскости ABP, мы доказали, что любая точка этой плоскости равноудалена от плоскостей ABH и ABQ.

Ответ: Доказано.