Номер 205, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

205. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА = 3 дм, СВ = 2 дм, CD = 1 дм.

Для нахождения площади треугольника $ABD$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В нашем случае в качестве основания выберем сторону $AB$, а высотой будет являться отрезок $DH$, проведенный из вершины $D$ перпендикулярно к стороне $AB$.

1. Сначала найдем длину стороны $AB$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным по условию ($\angle C = 90^\circ$), с катетами $CA = 3$ дм и $CB = 2$ дм. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:
$AB^2 = CA^2 + CB^2$
$AB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$
$AB = \sqrt{13}$ дм.

2. Далее найдем высоту $DH$ треугольника $ABD$. Для этого проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Так как прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $CD \perp CH$. Таким образом, треугольник $CDH$ является прямоугольным.

Рассмотрим прямую $AB$ в плоскости $(ABC)$, наклонную $DH$ к этой плоскости и ее проекцию $CH$. Так как мы провели $CH$ как высоту, то $CH \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($CH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($DH$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $DH \perp AB$, и $DH$ является высотой треугольника $ABD$.

3. Чтобы найти длину $DH$, сначала вычислим длину ее проекции $CH$. Длину высоты $CH$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ можно найти через площадь. Площадь $\triangle ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ дм².
С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через гипотенузу и высоту, проведенную к ней:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.
Приравняв два выражения, получим: $3 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot CH$.
Отсюда выразим $CH$: $CH = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ дм.

4. Теперь, зная катеты $CD$ и $CH$ прямоугольного треугольника $CDH$, по теореме Пифагора найдем гипотенузу $DH$:
$DH^2 = CD^2 + CH^2$
$DH^2 = 1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1 + \frac{36}{13} = \frac{13}{13} + \frac{36}{13} = \frac{49}{13}$
$DH = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ дм.

5. Наконец, вычислим площадь треугольника $ABD$, зная его основание $AB$ и высоту $DH$:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH$
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5$ дм².

Ответ: $3.5$ дм².