Номер 200, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, который лежит в плоскости $\alpha$. Около этого многоугольника описана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению описанной окружности, все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а значит, расстояния от центра окружности до каждой вершины равны радиусу: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.

Пусть $l$ — это прямая, которая проходит через центр $O$ и перпендикулярна плоскости многоугольника $\alpha$. Возьмем на прямой $l$ произвольную точку $M$. Требуется доказать, что точка $M$ равноудалена от всех вершин многоугольника, то есть $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$.

Рассмотрим отрезки, соединяющие точку $M$ с двумя произвольными вершинами многоугольника, например, $A_i$ и $A_j$. Так как прямая $l$ (содержащая отрезок $MO$) перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. В частности, $MO \perp OA_i$ и $MO \perp OA_j$. Следовательно, треугольники $\triangle MOA_i$ и $\triangle MOA_j$ являются прямоугольными, с общим катетом $MO$.

Сравним прямоугольные треугольники $\triangle MOA_i$ и $\triangle MOA_j$.
1. Катет $MO$ — общий.
2. Катеты $OA_i$ и $OA_j$ равны как радиусы одной и той же описанной окружности ($OA_i = OA_j = R$).

Таким образом, треугольники $\triangle MOA_i$ и $\triangle MOA_j$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $MA_i = MA_j$.

Этот же результат можно получить с помощью теоремы Пифагора. Для гипотенузы $MA_i$ имеем $MA_i^2 = MO^2 + OA_i^2 = MO^2 + R^2$. Для гипотенузы $MA_j$ имеем $MA_j^2 = MO^2 + OA_j^2 = MO^2 + R^2$. Отсюда следует, что $MA_i^2 = MA_j^2$, и так как длины отрезков являются положительными величинами, $MA_i = MA_j$.

Поскольку вершины $A_i$ и $A_j$ были выбраны произвольно, это означает, что расстояния от точки $M$ до всех вершин многоугольника равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.