Номер 207, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

207. В треугольнике ABC дано: AB = ВС = 13 см, АС = 10 см. Точка М удалена от прямых AB, ВС и АС на 823см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно длине отрезка $MO$. По условию, точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Пусть $MK$, $ML$ и $MP$ — перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на прямые $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию, $MK = ML = MP = 8\frac{2}{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MOP$. У них общая катета $MO$. Их гипотенузы равны: $MK = ML = MP$. Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OK = OL = OP$.

Так как $MO \perp (ABC)$, то отрезки $OK$, $OL$ и $OP$ являются перпендикулярами к сторонам треугольника $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$ и находится внутри него, она является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром), а расстояние $OK = OL = OP$ — это радиус вписанной окружности ($r$).

Найдем радиус $r$ вписанной в $\triangle ABC$ окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC=13$ см и основанием $AC=10$ см.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдем площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 8} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 25} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle MOK$. Его катеты — это $MO$ (искомое расстояние, обозначим его $h$) и $OK$ (радиус вписанной окружности $r$). Гипотенуза — $MK$ (расстояние от точки $M$ до стороны $AB$).

По теореме Пифагора: $MK^2 = MO^2 + OK^2$.

Выразим $MO^2$: $MO^2 = MK^2 - OK^2$.
Нам дано $MK = 8\frac{2}{3} = \frac{26}{3}$ см. Мы нашли $OK = r = \frac{10}{3}$ см.

Подставим значения:$h^2 = \left(\frac{26}{3}\right)^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{26^2 - 10^2}{3^2} = \frac{(26-10)(26+10)}{9} = \frac{16 \cdot 36}{9} = 16 \cdot 4 = 64$.

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно 8 см.

Ответ: 8 см.