Номер 206, страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что АМ = 20 см.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a, b, c$. По условию, их длины равны 17 см, 15 см и 8 см.

1. Определение типа треугольника и расположения его элементов.

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Меньшая сторона имеет длину 8 см. Пусть это будет сторона $BC$. Таким образом, $BC = 8$ см. Меньший угол, соответственно, это угол при вершине $A$. Пусть стороны треугольника будут:

$a = BC = 8$ см (меньшая сторона)

$b = AC = 15$ см

$c = AB = 17$ см

Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AB^2 = 17^2 = 289$

$AC^2 + BC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$

Поскольку $AB^2 = AC^2 + BC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$).

2. Построение и нахождение расстояния.

По условию, через вершину $A$ (вершину меньшего угла) проведена прямая $AM$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $AM \perp (ABC)$. Следовательно, прямая $AM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AM \perp AC$.

Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, то есть до прямой $BC$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим этот перпендикуляр как $MH$, где $H \in BC$ и $MH \perp BC$.

Рассмотрим наклонную $MC$ к плоскости $ABC$. Прямая $AM$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а отрезок $AC$ — проекция наклонной $MC$ на эту плоскость.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$, то сторона $AC$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AC \perp BC$).

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MC \perp BC$.

Это означает, что искомое расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $MC$.

3. Вычисление искомого расстояния.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Так как $AM \perp (ABC)$, то $AM \perp AC$, и, следовательно, треугольник $AMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора для треугольника $AMC$:

$MC^2 = AM^2 + AC^2$

Нам известны длины катетов: $AM = 20$ см (по условию) и $AC = 15$ см.

$MC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$

$MC = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см