Номер 212, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

212. Точка С является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна $\frac{S}{\cos \alpha }$, где S — площадь треугольника ABC, a α — угол между плоскостями ABC и ABD.

Данная задача решается с помощью теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника. Однако, для полноты решения, приведем доказательство, основанное на базовых принципах стереометрии.

Пусть $AB$ — общая сторона треугольников $ABC$ и $ABD$. Эта прямая является линией пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(ABD)$. По условию, угол между этими плоскостями (двугранный угол при ребре $AB$) равен $\alpha$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. В плоскости треугольника $ABC$ проведем из точки $C$ высоту $CH$ к стороне $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$.

По условию, точка $C$ является проекцией точки $D$ на плоскость $(ABC)$. Это означает, что отрезок $DC$ перпендикулярен плоскости $(ABC)$, то есть $DC \perp (ABC)$.

Теперь рассмотрим наклонную $DH$ к плоскости $(ABC)$ и ее проекцию $CH$. Так как проекция $CH$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах сама наклонная $DH$ также перпендикулярна прямой $AB$ ($DH \perp AB$).

Поскольку отрезки $CH$ и $DH$ проведены в точке $H$ на прямой $AB$ и оба перпендикулярны ей, угол $\angle DHC$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABC)$ и $(ABD)$. Следовательно, $\angle DHC = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $DCH$. Так как $DC \perp (ABC)$, то прямая $DC$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $CH$. Таким образом, треугольник $DCH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle DCH = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $DCH$ по определению косинуса острого угла:$\cos \alpha = \cos(\angle DHC) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CH}{DH}$

Из этого соотношения мы можем выразить длину отрезка $DH$:$DH = \frac{CH}{\cos \alpha}$

Площадь треугольника $ABC$, обозначенная в условии как $S$, вычисляется по формуле:$S = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$

Площадь треугольника $ABD$ (обозначим ее $S_{ABD}$) вычисляется по аналогичной формуле, где $DH$ является высотой, опущенной на сторону $AB$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH$

Теперь подставим в формулу для площади $S_{ABD}$ найденное ранее выражение для $DH$:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left( \frac{CH}{\cos \alpha} \right)$

Перегруппируем множители:$S_{ABD} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH}{\cos \alpha}$

Заметим, что выражение в числителе, $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$, есть не что иное, как площадь треугольника $ABC$, то есть $S$.Следовательно, мы получаем искомое равенство:$S_{ABD} = \frac{S}{\cos \alpha}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь треугольника $ABD$ равна $\frac{S}{\cos \alpha}$.