Номер 216, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

216. Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки АС и BD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок CD, если AB = AC = BD = a.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть ребро двугранного угла, на котором лежат точки A и B, является прямой $l$.

1. Введение векторов и их свойств

Введем векторы, соответствующие отрезкам из условия задачи: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. По условию, отрезки $AC$ и $BD$ перпендикулярны ребру двугранного угла. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ перпендикулярны вектору $\vec{AB}$, который направлен вдоль ребра $l$. В виде скалярного произведения это записывается как: $\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 0$ $\vec{BD} \cdot \vec{AB} = 0$ Также из условия известны длины отрезков, которые равны модулям соответствующих векторов: $|\vec{AB}| = AB = a$ $|\vec{AC}| = AC = a$ $|\vec{BD}| = BD = a$

2. Представление вектора $\vec{CD}$

Чтобы найти длину отрезка $CD$, найдем сначала вектор $\vec{CD}$. Его можно представить в виде суммы векторов, образующих ломаную линию от точки C до точки D: $\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD}$ Важно отметить, что $\vec{CA} = -\vec{AC}$.

3. Нахождение квадрата длины отрезка $CD$

Квадрат длины отрезка $CD$ равен скалярному квадрату вектора $\vec{CD}$: $CD^2 = |\vec{CD}|^2 = \vec{CD} \cdot \vec{CD} = (\vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD}) \cdot (\vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BD})$ Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения: $CD^2 = \vec{CA}^2 + \vec{AB}^2 + \vec{BD}^2 + 2(\vec{CA} \cdot \vec{AB}) + 2(\vec{AB} \cdot \vec{BD}) + 2(\vec{CA} \cdot \vec{BD})$

4. Вычисление скалярных произведений

Теперь вычислим каждое слагаемое в полученном выражении. Скалярные квадраты векторов равны квадратам их длин: $\vec{CA}^2 = |\vec{AC}|^2 = a^2$; $\vec{AB}^2 = |\vec{AB}|^2 = a^2$; $\vec{BD}^2 = |\vec{BD}|^2 = a^2$. Скалярные произведения перпендикулярных векторов равны нулю: $2(\vec{CA} \cdot \vec{AB}) = 0$ (так как $AC \perp AB$) и $2(\vec{AB} \cdot \vec{BD}) = 0$ (так как $BD \perp AB$). Остается найти значение $2(\vec{CA} \cdot \vec{BD})$. $2(\vec{CA} \cdot \vec{BD}) = 2(-\vec{AC} \cdot \vec{BD})$. Скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BD}$ по определению равно $|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}| \cdot \cos\varphi$, где $\varphi$ — это угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Отрезки $AC$ и $BD$ лежат в разных гранях и перпендикулярны ребру. Следовательно, угол между их направлениями (если совместить их начала) равен линейному углу двугранного угла, то есть $\varphi = 120^\circ$. $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}$. Подставляем это значение обратно: $2(\vec{CA} \cdot \vec{BD}) = 2\left(-\left(-\frac{a^2}{2}\right)\right) = 2\left(\frac{a^2}{2}\right) = a^2$.

5. Итоговый расчет

Соберем все вычисленные значения в единую формулу для $CD^2$: $CD^2 = a^2 + a^2 + a^2 + 0 + 0 + a^2$ $CD^2 = 4a^2$ Теперь найдем длину отрезка $CD$, извлекая квадратный корень: $CD = \sqrt{4a^2} = 2a$

Ответ: $2a$.