Номер 214, страница 62 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

214. Проекцией прямоугольника ABCD на плоскость α является квадрат ABC₁D₁. Вычислите угол φ между плоскостью α и плоскостью прямоугольника ABCD, если AB : ВС = 1 : 2.

Пусть плоскость, в которой лежит прямоугольник ABCD, называется β, а плоскость проекции — α. Угол между плоскостями β и α обозначим как φ.

По условию, проекцией прямоугольника ABCD на плоскость α является квадрат ABC?D?. Тот факт, что точки A и B при проецировании остаются на своих местах, означает, что прямая AB является линией пересечения плоскостей β и α.

Для нахождения угла между плоскостями можно воспользоваться формулой, которая связывает площадь плоской фигуры ($S$) и площадь ее ортогональной проекции ($S_{пр}$):

$S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$

Сначала найдем площади обеих фигур. Пусть, согласно условию $AB:BC=1:2$, сторона $AB = a$. Тогда сторона $BC = 2a$.

Площадь исходного прямоугольника ABCD равна:

$S_{ABCD} = AB \cdot BC = a \cdot 2a = 2a^2$

Проекцией является квадрат ABC?D?. Его сторона AB совпадает со стороной исходного прямоугольника, так как лежит на линии пересечения плоскостей. Следовательно, сторона квадрата равна $a$.

Площадь проекции, то есть квадрата ABC?D?, равна:

$S_{ABC_1D_1} = AB^2 = a^2$

Теперь подставим значения площадей в формулу проекции:

$a^2 = (2a^2) \cdot \cos(\phi)$

Разделив обе части на $a^2$ (так как $a \ne 0$), получим:

$1 = 2 \cdot \cos(\phi)$

$\cos(\phi) = \frac{1}{2}$

Поскольку угол между плоскостями φ по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, получаем единственное решение:

$\phi = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$

Задачу можно решить и другим способом, используя определение двугранного угла. Угол между плоскостями равен линейному углу двугранного угла, образованного этими плоскостями. В качестве ребра двугранного угла выступает прямая AB. В плоскости β к ребру AB перпендикулярен отрезок BC (так как ABCD — прямоугольник). В плоскости α к ребру AB перпендикулярен отрезок BC? (так как ABC?D? — квадрат). Следовательно, линейный угол двугранного угла равен углу $\angle CBC_1$. Таким образом, $\phi = \angle CBC_1$.

Рассмотрим треугольник ▵CBC?. Так как C? — это проекция точки C на плоскость α, то отрезок $CC_1$ перпендикулярен плоскости α, а значит, и любой прямой в этой плоскости, проходящей через C?. Отсюда $CC_1 \perp BC_1$, и треугольник ▵CBC? является прямоугольным с прямым углом при вершине C?.

В этом прямоугольном треугольнике гипотенузой является сторона BC, а одним из катетов — сторона BC?.

Мы знаем, что $BC = 2a$, а катет $BC_1$ является стороной квадрата, поэтому $BC_1 = AB = a$.

Найдем косинус угла $\angle CBC_1$:

$\cos(\phi) = \cos(\angle CBC_1) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC_1}{BC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

Это снова приводит нас к тому же результату: $\phi = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.