Страница 61 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

197. Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости МВС.

Для того чтобы доказать, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $MBC$, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, прямая является перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

1. По условию задачи, фигура $ABCD$ является прямоугольником. По свойству прямоугольника, все его углы прямые, а значит смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, сторона $CD$ перпендикулярна стороне $BC$, что можно записать как $CD \perp BC$.

2. Также по условию, отрезок $BM$ перпендикулярен плоскости прямоугольника $ABCD$. Это записывается как $BM \perp (ABCD)$. Прямая $CD$ целиком лежит в плоскости $(ABCD)$. По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда следует, что отрезок $BM$ перпендикулярен прямой $CD$, то есть $BM \perp CD$.

3. Таким образом, мы установили, что прямая $CD$ перпендикулярна двум прямым: $BC$ и $BM$. Обе эти прямые ($BC$ и $BM$) лежат в плоскости $MBC$ и пересекаются в точке $B$.
На основании признака перпендикулярности прямой и плоскости, можно заключить, что прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $MBC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на признаке перпендикулярности прямой и плоскости. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $CD \perp BC$. По условию $BM \perp (ABCD)$, а прямая $CD$ лежит в этой плоскости ($CD \subset (ABCD)$), следовательно, $BM \perp CD$. Поскольку прямая $CD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BM$ из плоскости $MBC$, то она перпендикулярна и самой плоскости $MBC$.

198. Точка А лежит в плоскости α, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок AB в отношении 4 : 5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, поэтому расстояние от нее до плоскости равно 0.

Пусть $BB'$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на плоскость $\alpha$. По условию, его длина $BB' = 9$ см. Точка $B'$ является проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$.

Пусть $MM'$ — искомое расстояние от точки $M$ до плоскости $\alpha$. Тогда $MM'$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\alpha$, а $M'$ — проекция точки $M$ на эту плоскость.

Поскольку прямые $MM'$ и $BB'$ обе перпендикулярны одной и той же плоскости $\alpha$, они параллельны друг другу: $MM' \parallel BB'$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABB'$. Он является прямоугольным, так как $BB' \perp \alpha$, а прямая $AB'$ (на которой лежат точки $A$ и $B'$) находится в плоскости $\alpha$, следовательно $\angle AB'B = 90^{\circ}$.

Точка $M$ лежит на гипотенузе $AB$. Проведем через точку $M$ прямую $MM'$, параллельную катету $BB'$, до пересечения с катетом $AB'$ в точке $M'$. Треугольник $\triangle AMM'$ подобен треугольнику $\triangle ABB'$ по двум углам (угол при вершине $A$ у них общий, а $\angle AM'M = \angle AB'B = 90^{\circ}$).

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно:

$\frac{MM'}{BB'} = \frac{AM}{AB}$

По условию задачи точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $AM : MB = 4 : 5$. Это значит, что если принять длину отрезка $AM$ за $4x$, то длина отрезка $MB$ будет $5x$. Тогда вся длина отрезка $AB$ составит $AM + MB = 4x + 5x = 9x$.

Найдем отношение $\frac{AM}{AB}$:

$\frac{AM}{AB} = \frac{4x}{9x} = \frac{4}{9}$

Теперь подставим известные значения в пропорцию из подобия треугольников:

$\frac{MM'}{9} = \frac{4}{9}$

Отсюда находим искомое расстояние $MM'$:

$MM' = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Обозначим вершины прямоугольного треугольника как $A$, $B$ и $C$, где $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $AB$ — гипотенуза. По условию задачи, точка $S$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $SA = SB = SC$, и точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$.

Для доказательства того, что прямая $SM$ перпендикулярна плоскости треугольника $(ABC)$, нужно показать, что она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве этих прямых выберем гипотенузу $AB$ и медиану $MC$.

1. Доказательство перпендикулярности $SM$ и $AB$ ($SM \perp AB$)

Рассмотрим треугольник $ASB$. Поскольку по условию $SA = SB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. Отрезок $SM$ соединяет вершину $S$ с серединой основания $M$, следовательно, $SM$ является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, $SM \perp AB$.

2. Доказательство перпендикулярности $SM$ и $MC$ ($SM \perp MC$)

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Отрезок $CM$ — это медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе. По свойству медианы в прямоугольном треугольнике, ее длина равна половине гипотенузы: $CM = \frac{1}{2}AB$. Так как $M$ — середина $AB$, то $AM = \frac{1}{2}AB$. Отсюда следует, что $AM = CM$.

Теперь сравним треугольники $\triangle SMA$ и $\triangle SMC$.
- Сторона $SA = SC$ (по условию).
- Сторона $AM = CM$ (как показано выше).
- Сторона $SM$ — общая.
Следовательно, $\triangle SMA \cong \triangle SMC$ по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle SMA = \angle SMC$.
Из пункта 1 мы знаем, что $SM \perp AB$, что означает $\angle SMA = 90^\circ$.
Следовательно, $\angle SMC$ также равен $90^\circ$, что доказывает, что $SM \perp MC$.

3. Заключение

Мы установили, что прямая $SM$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $M$ прямым $AB$ и $MC$, которые лежат в плоскости треугольника $ABC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Таким образом, прямая $SM$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$.

Ответ: Утверждение доказано.

200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

Пусть дан многоугольник $A_1A_2...A_n$, который лежит в плоскости $\alpha$. Около этого многоугольника описана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. По определению описанной окружности, все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а значит, расстояния от центра окружности до каждой вершины равны радиусу: $OA_1 = OA_2 = ... = OA_n = R$.

Пусть $l$ — это прямая, которая проходит через центр $O$ и перпендикулярна плоскости многоугольника $\alpha$. Возьмем на прямой $l$ произвольную точку $M$. Требуется доказать, что точка $M$ равноудалена от всех вершин многоугольника, то есть $MA_1 = MA_2 = ... = MA_n$.

Рассмотрим отрезки, соединяющие точку $M$ с двумя произвольными вершинами многоугольника, например, $A_i$ и $A_j$. Так как прямая $l$ (содержащая отрезок $MO$) перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. В частности, $MO \perp OA_i$ и $MO \perp OA_j$. Следовательно, треугольники $\triangle MOA_i$ и $\triangle MOA_j$ являются прямоугольными, с общим катетом $MO$.

Сравним прямоугольные треугольники $\triangle MOA_i$ и $\triangle MOA_j$.
1. Катет $MO$ — общий.
2. Катеты $OA_i$ и $OA_j$ равны как радиусы одной и той же описанной окружности ($OA_i = OA_j = R$).

Таким образом, треугольники $\triangle MOA_i$ и $\triangle MOA_j$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $MA_i = MA_j$.

Этот же результат можно получить с помощью теоремы Пифагора. Для гипотенузы $MA_i$ имеем $MA_i^2 = MO^2 + OA_i^2 = MO^2 + R^2$. Для гипотенузы $MA_j$ имеем $MA_j^2 = MO^2 + OA_j^2 = MO^2 + R^2$. Отсюда следует, что $MA_i^2 = MA_j^2$, и так как длины отрезков являются положительными величинами, $MA_i = MA_j$.

Поскольку вершины $A_i$ и $A_j$ были выбраны произвольно, это означает, что расстояния от точки $M$ до всех вершин многоугольника равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

201. Найдите угол между скрещивающимися прямыми AB и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка AB.

По условию задачи, точки $P$ и $Q$ равноудалены от концов отрезка $AB$. Это означает, что выполняются следующие равенства для длин отрезков: $PA = PB$ и $QA = QB$.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае $A$ и $B$), представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему эти точки ($AB$), и проходящую через его середину. Назовем эту плоскость $\alpha$.

Поскольку точка $P$ равноудалена от $A$ и $B$ ($PA = PB$), она принадлежит плоскости $\alpha$.

Аналогично, поскольку точка $Q$ равноудалена от $A$ и $B$ ($QA = QB$), она также принадлежит плоскости $\alpha$.

Так как обе точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся прямая $PQ$, проходящая через эти две точки, целиком лежит в этой плоскости $\alpha$.

По определению плоскости $\alpha$, прямая $AB$ перпендикулярна этой плоскости. Записывается это как $AB \perp \alpha$.

Согласно свойству перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Поскольку прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а прямая $PQ$ лежит в плоскости $\alpha$, то прямые $AB$ и $PQ$ перпендикулярны друг другу.

Угол между перпендикулярными прямыми, в том числе и скрещивающимися, по определению равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна 5 см?

Пусть дан прямоугольный треугольник, а точка $M$ равноудалена от его вершин $A$, $B$ и $C$. Это означает, что отрезки, соединяющие точку $M$ с вершинами, равны: $MA = MB = MC = 10$ см.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим проекцию точки $M$ на плоскость треугольника как точку $O$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $MO$.

Поскольку наклонные $MA$, $MB$ и $MC$ равны, то их проекции на плоскость треугольника также равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине его гипотенузы. Радиус этой окружности $R$ равен половине длины гипотенузы. Также известно, что медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

По условию, медиана, проведённая к гипотенузе, равна 5 см. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ также равен 5 см. То есть, расстояние от центра описанной окружности $O$ до любой из вершин треугольника равно 5 см: $OA = OB = OC = R = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOC$. В нём:

• $MC$ — гипотенуза (расстояние от точки $M$ до вершины $C$), $MC = 10$ см.
• $MO$ — катет (искомое расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника).
• $OC$ — катет (радиус описанной окружности), $OC = 5$ см.

По теореме Пифагора: $MC^2 = MO^2 + OC^2$.

Выразим из формулы $MO^2$:
$MO^2 = MC^2 - OC^2$
$MO^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75$

Теперь найдём длину $MO$:
$MO = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ см.

Ответ: $5\sqrt{3}$ см.

203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки K до сторон треугольника, если AB = ВС = 10 см, АС = 12 см, OK = 4 см.

Поскольку треугольник $ABC$ имеет две равные стороны $AB = BC = 10$ см, он является равнобедренным. Точка $O$ — центр вписанной окружности, значит, она равноудалена от всех сторон треугольника. Расстояние от центра вписанной окружности до любой из сторон равно радиусу этой окружности $r$.

Пусть $M$, $N$ и $P$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда отрезки $OM$, $ON$ и $OP$ перпендикулярны сторонам треугольника, и их длины равны радиусу вписанной окружности: $OM = ON = OP = r$.

Прямая $OK$ по условию перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$. Расстояние от точки $K$ до стороны треугольника, например, до стороны $AC$, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AC$. Обозначим этот перпендикуляр $KP'$.

Рассмотрим проекцию наклонной $KP'$ на плоскость треугольника $ABC$. Это отрезок $OP'$. По теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $KP'$ перпендикулярна прямой $AC$, то и ее проекция $OP'$ перпендикулярна $AC$. Так как из точки $O$ на прямую $AC$ можно опустить только один перпендикуляр, то точка $P'$ совпадает с точкой касания $P$. Таким образом, расстояние от точки $K$ до стороны $AC$ равно длине отрезка $KP$.

Так как $OK \perp (ABC)$, то $OK$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. В частности, $OK \perp OP$. Следовательно, треугольник $KOP$ является прямоугольным с катетами $OK$ и $OP$. По теореме Пифагора, $KP^2 = OK^2 + OP^2$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника ($OM = ON = OP = r$), то и расстояния от точки $K$ до всех сторон треугольника будут равны:
$KM = KN = KP = \sqrt{OK^2 + r^2}$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Найдем площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$
$S = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

Теперь, зная $r=OP=3$ см и $OK=4$ см, можем найти искомое расстояние $KP$:
$KP = \sqrt{OK^2 + OP^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Расстояние от точки $K$ до всех сторон треугольника $ABC$ одинаково и равно 5 см.

Ответ: 5 см.

204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, ∠MCO = φ. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника ABC и до прямых AB, ВС и СА; б) длину окружности, описанной около треугольника ABC; в) площадь треугольника ABC.

а) Найти расстояние от точки $M$ до каждой из вершин треугольника $ABC$ и до прямых $AB, BC$ и $CA$.

Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна плоскости правильного треугольника $ABC$ ($OM \perp (ABC)$) и проходит через его центр $O$, то $OM$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$. Следовательно, треугольник $\triangle MOC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle MOC = 90^\circ$.

1. Расстояние от точки $M$ до вершин треугольника.

Так как $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, он равноудален от его вершин, то есть $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$. У них общий катет $OM=a$ и равные вторые катеты $OA = OB = OC$. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, а значит, равны и их гипотенузы: $MA = MB = MC$.

Найдем длину гипотенузы $MC$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOC$. Известны катет $OM = a$ и противолежащий ему угол $\angle MCO = \phi$. По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle MCO) = \frac{OM}{MC}$

$\sin(\phi) = \frac{a}{MC}$

Отсюда находим расстояние от точки $M$ до каждой из вершин:

$MA = MB = MC = \frac{a}{\sin(\phi)}$

2. Расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны треугольника.

В силу симметрии, расстояния от точки $M$ до прямых $AB, BC$ и $CA$ равны. Найдем расстояние от точки $M$ до прямой $BC$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Пусть $K$ — середина стороны $BC$. В правильном треугольнике медиана $AK$ является и высотой, поэтому $OK \perp BC$. Отрезок $OK$ является радиусом вписанной в треугольник окружности ($OK = r$).

Согласно теореме о трех перпендикулярах, так как $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MK$ — наклонная, а $OK$ — ее проекция на эту плоскость, и при этом проекция $OK$ перпендикулярна прямой $BC$, то и сама наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $BC$ ($MK \perp BC$). Таким образом, длина отрезка $MK$ и есть искомое расстояние.

Найдем длину $MK$ из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ (где $\angle MOK = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $MK^2 = OM^2 + OK^2$.

Для этого сначала найдем $OK = r$. В прямоугольном $\triangle MOC$ найдем катет $OC = R$ (радиус описанной окружности):

$\cot(\angle MCO) = \frac{OC}{OM} \implies \cot(\phi) = \frac{R}{a} \implies R = a \cot(\phi)$

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной: $r = \frac{R}{2}$.

$OK = r = \frac{a \cot(\phi)}{2}$

Теперь можем вычислить $MK$:

$MK^2 = a^2 + \left(\frac{a \cot(\phi)}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2 \cot^2(\phi)}{4} = a^2\left(1 + \frac{\cot^2(\phi)}{4}\right) = \frac{a^2(4 + \cot^2(\phi))}{4}$

$MK = \sqrt{\frac{a^2(4 + \cot^2(\phi))}{4}} = \frac{a}{2}\sqrt{4 + \cot^2(\phi)}$

Ответ: расстояние от точки $M$ до каждой из вершин треугольника $ABC$ равно $\frac{a}{\sin(\phi)}$, а расстояние от точки $M$ до каждой из прямых $AB, BC, CA$ равно $\frac{a}{2}\sqrt{4 + \cot^2(\phi)}$.

б) Найти длину окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

В пункте а) мы нашли, что $R = a \cot(\phi)$.

Подставим это значение в формулу:

$L = 2\pi (a \cot(\phi)) = 2\pi a \cot(\phi)$

Ответ: $2\pi a \cot(\phi)$.

в) Найти площадь треугольника $ABC$.

Площадь правильного треугольника $S$ можно вычислить через радиус описанной окружности $R$ по формуле:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2$

Используя найденное ранее значение $R = a \cot(\phi)$, получаем:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}(a \cot(\phi))^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \cot^2(\phi)$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \cot^2(\phi)$.

205. Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА = 3 дм, СВ = 2 дм, CD = 1 дм.

Для нахождения площади треугольника $ABD$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — основание треугольника, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В нашем случае в качестве основания выберем сторону $AB$, а высотой будет являться отрезок $DH$, проведенный из вершины $D$ перпендикулярно к стороне $AB$.

1. Сначала найдем длину стороны $AB$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным по условию ($\angle C = 90^\circ$), с катетами $CA = 3$ дм и $CB = 2$ дм. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $AB$:
$AB^2 = CA^2 + CB^2$
$AB^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$
$AB = \sqrt{13}$ дм.

2. Далее найдем высоту $DH$ треугольника $ABD$. Для этого проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Так как прямая $CD$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно, $CD \perp CH$. Таким образом, треугольник $CDH$ является прямоугольным.

Рассмотрим прямую $AB$ в плоскости $(ABC)$, наклонную $DH$ к этой плоскости и ее проекцию $CH$. Так как мы провели $CH$ как высоту, то $CH \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($CH$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и сама наклонная ($DH$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $DH \perp AB$, и $DH$ является высотой треугольника $ABD$.

3. Чтобы найти длину $DH$, сначала вычислим длину ее проекции $CH$. Длину высоты $CH$ в прямоугольном треугольнике $ABC$ можно найти через площадь. Площадь $\triangle ABC$ равна:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot CA \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$ дм².
С другой стороны, площадь этого же треугольника можно выразить через гипотенузу и высоту, проведенную к ней:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$.
Приравняв два выражения, получим: $3 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot CH$.
Отсюда выразим $CH$: $CH = \frac{2 \cdot 3}{\sqrt{13}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$ дм.

4. Теперь, зная катеты $CD$ и $CH$ прямоугольного треугольника $CDH$, по теореме Пифагора найдем гипотенузу $DH$:
$DH^2 = CD^2 + CH^2$
$DH^2 = 1^2 + \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1 + \frac{36}{13} = \frac{13}{13} + \frac{36}{13} = \frac{49}{13}$
$DH = \sqrt{\frac{49}{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}}$ дм.

5. Наконец, вычислим площадь треугольника $ABD$, зная его основание $AB$ и высоту $DH$:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot DH$
$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{7}{\sqrt{13}} = \frac{1}{2} \cdot 7 = 3.5$ дм².

Ответ: $3.5$ дм².

206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что АМ = 20 см.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a, b, c$. По условию, их длины равны 17 см, 15 см и 8 см.

1. Определение типа треугольника и расположения его элементов.

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Меньшая сторона имеет длину 8 см. Пусть это будет сторона $BC$. Таким образом, $BC = 8$ см. Меньший угол, соответственно, это угол при вершине $A$. Пусть стороны треугольника будут:

$a = BC = 8$ см (меньшая сторона)

$b = AC = 15$ см

$c = AB = 17$ см

Проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$AB^2 = 17^2 = 289$

$AC^2 + BC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$

Поскольку $AB^2 = AC^2 + BC^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACB = 90^\circ$).

2. Построение и нахождение расстояния.

По условию, через вершину $A$ (вершину меньшего угла) проведена прямая $AM$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $AM \perp (ABC)$. Следовательно, прямая $AM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, $AM \perp AC$.

Нам нужно найти расстояние от точки $M$ до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, то есть до прямой $BC$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим этот перпендикуляр как $MH$, где $H \in BC$ и $MH \perp BC$.

Рассмотрим наклонную $MC$ к плоскости $ABC$. Прямая $AM$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а отрезок $AC$ — проекция наклонной $MC$ на эту плоскость.

Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$, то сторона $AC$ перпендикулярна стороне $BC$ ($AC \perp BC$).

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AC$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($BC$), то и сама наклонная ($MC$) перпендикулярна этой прямой. Таким образом, $MC \perp BC$.

Это означает, что искомое расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ равно длине отрезка $MC$.

3. Вычисление искомого расстояния.

Рассмотрим треугольник $AMC$. Так как $AM \perp (ABC)$, то $AM \perp AC$, и, следовательно, треугольник $AMC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

По теореме Пифагора для треугольника $AMC$:

$MC^2 = AM^2 + AC^2$

Нам известны длины катетов: $AM = 20$ см (по условию) и $AC = 15$ см.

$MC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$

$MC = \sqrt{625} = 25$ см.

Ответ: 25 см

207. В треугольнике ABC дано: AB = ВС = 13 см, АС = 10 см. Точка М удалена от прямых AB, ВС и АС на 823см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если её проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость треугольника $ABC$. Тогда расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно длине отрезка $MO$. По условию, точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Пусть $MK$, $ML$ и $MP$ — перпендикуляры, опущенные из точки $M$ на прямые $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. По условию, $MK = ML = MP = 8\frac{2}{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MOP$. У них общая катета $MO$. Их гипотенузы равны: $MK = ML = MP$. Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OK = OL = OP$.

Так как $MO \perp (ABC)$, то отрезки $OK$, $OL$ и $OP$ являются перпендикулярами к сторонам треугольника $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$ и находится внутри него, она является центром вписанной в треугольник окружности (инцентром), а расстояние $OK = OL = OP$ — это радиус вписанной окружности ($r$).

Найдем радиус $r$ вписанной в $\triangle ABC$ окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Треугольник $ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB=BC=13$ см и основанием $AC=10$ см.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 13 + 10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Найдем площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{18(18-13)(18-13)(18-10)} = \sqrt{18 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 8} = \sqrt{2 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 8} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 25} = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle MOK$. Его катеты — это $MO$ (искомое расстояние, обозначим его $h$) и $OK$ (радиус вписанной окружности $r$). Гипотенуза — $MK$ (расстояние от точки $M$ до стороны $AB$).

По теореме Пифагора: $MK^2 = MO^2 + OK^2$.

Выразим $MO^2$: $MO^2 = MK^2 - OK^2$.
Нам дано $MK = 8\frac{2}{3} = \frac{26}{3}$ см. Мы нашли $OK = r = \frac{10}{3}$ см.

Подставим значения:$h^2 = \left(\frac{26}{3}\right)^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{26^2 - 10^2}{3^2} = \frac{(26-10)(26+10)}{9} = \frac{16 \cdot 36}{9} = 16 \cdot 4 = 64$.

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно 8 см.

Ответ: 8 см.