Номер 9, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 2. Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей - номер 9, страница 60.

9. Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?

Пусть дан квадрат, его диагонали $d_1$ и $d_2$, и плоскость $\alpha$. По условию задачи, одна из диагоналей, например $d_1$, перпендикулярна плоскости $\alpha$. Математически это записывается как $d_1 \perp \alpha$. Требуется определить, как расположена вторая диагональ, $d_2$, по отношению к плоскости $\alpha$.

Ключевым свойством квадрата является то, что его диагонали взаимно перпендикулярны. Таким образом, $d_1 \perp d_2$.

Итак, мы имеем две зависимости:

• Диагональ $d_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
• Диагональ $d_1$ перпендикулярна диагонали $d_2$.

Для решения задачи воспользуемся следующей теоремой стереометрии: если прямая перпендикулярна другой прямой, которая, в свою очередь, перпендикулярна плоскости, то первая прямая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

Рассмотрим все возможные случаи, чтобы доказать это утверждение для нашей задачи. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $d_1$ и $d_2$.

1. Случай 1: Точка пересечения диагоналей $O$ лежит в плоскости $\alpha$.
   По определению, если прямая $d_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ и проходит через точку $O$ в этой плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через $O$. Поскольку диагональ $d_2$ проходит через точку $O$ и при этом $d_2 \perp d_1$, то $d_2$ должна быть одной из тех прямых, которые лежат в плоскости $\alpha$. Следовательно, в этом случае диагональ $d_2$ лежит в плоскости $\alpha$ ($d_2 \subset \alpha$).
2. Случай 2: Точка пересечения диагоналей $O$ не лежит в плоскости $\alpha$.
   Проведем через точку $O$ плоскость $\beta$, параллельную плоскости $\alpha$ ($\beta \parallel \alpha$). Согласно свойству, если прямая ($d_1$) перпендикулярна одной из параллельных плоскостей ($\alpha$), то она перпендикулярна и другой ($\beta$). Таким образом, $d_1 \perp \beta$. Так как $d_1$ проходит через точку $O$, то она перпендикулярна любой прямой в плоскости $\beta$, проходящей через $O$. Мы знаем, что $d_2 \perp d_1$ и также проходит через $O$. Это означает, что прямая $d_2$ должна лежать в плоскости $\beta$ ($d_2 \subset \beta$). А так как плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то и прямая $d_2$, лежащая в плоскости $\beta$, параллельна плоскости $\alpha$ ($d_2 \parallel \alpha$).

Объединяя оба рассмотренных случая, мы получаем, что вторая диагональ квадрата либо параллельна данной плоскости, либо лежит в ней.

Ответ: Другая диагональ квадрата параллельна этой плоскости или лежит в ней.