Номер 5, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

5. Прямая а параллельна плоскости α, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и b?

Да, такая прямая существует. Приведем развернутое доказательство этого факта.

По условию задачи, прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$), а прямая $b$ перпендикулярна этой же плоскости ($b \perp \alpha$). Нам нужно определить, существует ли прямая $c$, которая была бы перпендикулярна и прямой $a$, и прямой $b$ (то есть $c \perp a$ и $c \perp b$).

1. Установим взаимное расположение прямых $a$ и $b$.

Из того, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, следует, что в плоскости $\alpha$ найдется прямая $a'$, параллельная прямой $a$ ($a' \subset \alpha$ и $a' \parallel a$).

Поскольку прямая $b$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $a'$. Итак, $b \perp a'$.

В стереометрии есть теорема: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Так как $b \perp a'$ и $a \parallel a'$, то $b \perp a$. Следовательно, прямые $a$ и $b$ являются перпендикулярными.

2. Докажем существование общего перпендикуляра $c$.

Возьмем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Через точку $M$ проведем прямую $b'$, параллельную прямой $b$. Прямые $a$ и $b'$ пересекаются в точке $M$ и перпендикулярны друг другу (так как $a \perp b$ и $b' \parallel b$).

Две пересекающиеся прямые $a$ и $b'$ определяют единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $\beta$. Проведем через точку $M$ прямую $c$, перпендикулярную плоскости $\beta$. Такая прямая существует и единственна.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая $c$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\beta$.

• Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$, то $c \perp a$.
• Так как прямая $b'$ лежит в плоскости $\beta$, то $c \perp b'$.

Наконец, поскольку по построению $b' \parallel b$ и мы доказали, что $c \perp b'$, то из этого следует, что $c \perp b$.

Таким образом, мы построили прямую $c$, которая перпендикулярна обеим прямым $a$ и $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Да, существует.