Номер 8, страница 60 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Вопросы к главе 2 - номер 8, страница 60.

Условие.

8. Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

Решение 2.

Решение 6.

Да, через точку пространства можно провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны.

Чтобы доказать это, воспользуемся методом координат. Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат $Oxyz$.

Пусть точка, через которую мы проводим плоскости, — это начало координат, точка $O$ с координатами $(0, 0, 0)$.

В качестве трех искомых плоскостей рассмотрим три координатные плоскости:
1. Плоскость $Oxy$, которая задается уравнением $z = 0$.
2. Плоскость $Oxz$, которая задается уравнением $y = 0$.
3. Плоскость $Oyz$, которая задается уравнением $x = 0$.

Каждая из этих плоскостей проходит через точку $O(0, 0, 0)$, поскольку ее координаты удовлетворяют каждому из трех уравнений.

Теперь необходимо доказать, что эти плоскости попарно перпендикулярны. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Напомним, что нормальный вектор к плоскости — это любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

- Для плоскости $Oxy$ (уравнение $1 \cdot z = 0$) нормальным вектором является любой вектор, коллинеарный оси $Oz$. Возьмем, к примеру, вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.
- Для плоскости $Oxz$ (уравнение $1 \cdot y = 0$) нормальным вектором является любой вектор, коллинеарный оси $Oy$. Возьмем вектор $\vec{n_2} = (0, 1, 0)$.
- Для плоскости $Oyz$ (уравнение $1 \cdot x = 0$) нормальным вектором является любой вектор, коллинеарный оси $Ox$. Возьмем вектор $\vec{n_3} = (1, 0, 0)$.

Проверим перпендикулярность векторов нормалей, вычислив их попарные скалярные произведения. Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
- Скалярное произведение $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0$. Следовательно, плоскости $Oxy$ и $Oxz$ перпендикулярны.
- Скалярное произведение $\vec{n_1}$ и $\vec{n_3}$: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_3} = 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$. Следовательно, плоскости $Oxy$ и $Oyz$ перпендикулярны.
- Скалярное произведение $\vec{n_2}$ и $\vec{n_3}$: $\vec{n_2} \cdot \vec{n_3} = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 0$. Следовательно, плоскости $Oxz$ и $Oyz$ перпендикулярны.

Таким образом, мы показали, что координатные плоскости $Oxy$, $Oxz$ и $Oyz$ проходят через одну точку (начало координат) и являются взаимно перпендикулярными. Это доказывает, что такое построение возможно.

Наглядным примером из жизни является угол комнаты, где пол и две смежные стены пересекаются в одной точке. Пол и стены можно рассматривать как три взаимно перпендикулярные плоскости.

Ответ: Да, можно.