Номер 184, страница 59 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

184. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ - это плоскость $\alpha$, а плоскость треугольника $ABD$ - это плоскость $\beta$. По условию задачи, $\alpha \perp \beta$. Линией пересечения этих плоскостей является их общая сторона $AB$.

Для нахождения расстояния $CD$ рассмотрим пространственную фигуру, образованную точками $A, B, C, D$. Удобно построить вспомогательный треугольник, стороной которого является искомый отрезок $CD$.

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ являются равносторонними. Это означает, что все их стороны равны $AB = 10$ см.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, поэтому точка $H$ - это середина стороны $AB$. Длину высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Для $\triangle ABC$ имеем: $CH = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Аналогично, проведем в треугольнике $ABD$ высоту $DH$ к стороне $AB$. Так как $\triangle ABD$ также равносторонний, его высота $DH$ тоже является медианой и падает в ту же точку $H$ - середину $AB$. Ее длина: $DH = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $CDH$. Отрезок $CH$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярен линии пересечения $AB$. Отрезок $DH$ лежит в плоскости $\beta$ и также перпендикулярен $AB$ в той же точке $H$. Угол между такими отрезками равен линейному углу двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Так как плоскости взаимно перпендикулярны, угол между $CH$ и $DH$ равен $90^\circ$.

Следовательно, $\triangle CDH$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $H$. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $CD$: $CD^2 = CH^2 + DH^2$ $CD^2 = (5\sqrt{3})^2 + (5\sqrt{3})^2 = (25 \cdot 3) + (25 \cdot 3) = 75 + 75 = 150$ $CD = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$ см.

Ответ: $5\sqrt{6}$ см.

По условию, треугольники $ABC$ и $ABD$ являются прямоугольными равнобедренными с общей гипотенузой $AB=10$ см. Прямые углы находятся при вершинах $C$ и $D$ соответственно.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CH$ из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является также и медианой. Следовательно, точка $H$ - середина гипотенузы $AB$. Длина медианы, проведенной к гипотенузе, равна половине гипотенузы. $CH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Аналогично, для прямоугольного равнобедренного треугольника $ABD$ высота (и медиана) $DH$, проведенная из вершины прямого угла $D$ к гипотенузе $AB$, также падает в середину $AB$, точку $H$, и ее длина равна: $DH = \frac{1}{2}AB = \frac{10}{2} = 5$ см.

Как и в случае а), отрезки $CH$ и $DH$ перпендикулярны общей прямой $AB$ в точке $H$. Поскольку они лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $CDH$ является прямоугольным с катетами $CH$ и $DH$.

Применим теорему Пифагора к $\triangle CDH$: $CD^2 = CH^2 + DH^2$ $CD^2 = 5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$ $CD = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ см.

Ответ: $5\sqrt{2}$ см.