Номер 181, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

181. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и MB соответственно к плоскостям α и β. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что MC ⊥ a.

Доказательство

По условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$. Это означает, что прямая $a$ принадлежит обеим плоскостям, то есть $a \subset \alpha$ и $a \subset \beta$.

Из точки $M$ проведен перпендикуляр $MA$ к плоскости $\alpha$ ($MA \perp \alpha$). По определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$), то отсюда следует, что $MA \perp a$.

Аналогично, из точки $M$ проведен перпендикуляр $MB$ к плоскости $\beta$ ($MB \perp \beta$). Так как прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$), то отсюда следует, что $MB \perp a$.

Таким образом, мы установили, что прямая $a$ перпендикулярна двум прямым, $MA$ и $MB$. Эти прямые пересекаются в точке $M$ и определяют плоскость $AMB$.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна и самой этой плоскости. Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $AMB$, что можно записать как $a \perp (\text{плоскость } AMB)$.

По условию, прямая $a$ пересекает плоскость $AMB$ в точке $C$. Это означает, что точка $C$ принадлежит плоскости $AMB$. Точка $M$ также принадлежит плоскости $AMB$ по построению. Значит, прямая $MC$, проходящая через точки $M$ и $C$, целиком лежит в плоскости $AMB$ ($MC \subset (\text{плоскость } AMB)$).

Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку $a \perp (\text{плоскость } AMB)$ и $MC \subset (\text{плоскость } AMB)$, то $a \perp MC$.

Это и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что $MC \perp a$, доказано.