Номер 175, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

175. Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны.

Тетраэдр, у которого все ребра равны, называется правильным тетраэдром. Пусть длина ребра такого тетраэдра $DABC$ равна $a$.

Поскольку все ребра равны, все четыре грани тетраэдра ($\triangle ABC$, $\triangle DAB$, $\triangle DBC$, $\triangle DCA$) являются равными между собой равносторонними треугольниками со стороной $a$.

Двугранный угол при ребре — это угол между двумя гранями, имеющими это ребро общим. Чтобы доказать, что все двугранные углы равны, достаточно показать, что их линейные углы равны.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $AB$. Это угол между гранями $DAB$ и $CAB$. Для его измерения построим линейный угол. Так как треугольники $DAB$ и $CAB$ равносторонние, их высоты, проведенные к общему основанию $AB$, являются также и медианами. Пусть $K$ — середина ребра $AB$. Тогда отрезки $DK$ и $CK$ являются высотами в треугольниках $DAB$ и $CAB$ соответственно, и, следовательно, перпендикулярны ребру $AB$ ($DK \perp AB$ и $CK \perp AB$). Угол $\angle DKC$ — это линейный угол двугранного угла при ребре $AB$.

Аналогично, рассмотрим двугранный угол при любом другом ребре, например, при ребре $BC$. Пусть $L$ — середина ребра $BC$. Тогда высоты $DL$ и $AL$ в треугольниках $DBC$ и $ABC$ перпендикулярны ребру $BC$, а угол $\angle DLA$ является линейным углом двугранного угла при ребре $BC$.

Теперь сравним треугольники $\triangle DKC$ и $\triangle DLA$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В треугольнике $\triangle DKC$ стороны равны: $DK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота в $\triangle DAB$), $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота в $\triangle CAB$), и $DC = a$ (ребро тетраэдра). В треугольнике $\triangle DLA$ стороны равны: $DL = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота в $\triangle DBC$), $AL = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота в $\triangle ABC$), и $DA = a$ (ребро тетраэдра).

Таким образом, треугольники $\triangle DKC$ и $\triangle DLA$ равны по трем сторонам (SSS), так как их соответствующие стороны равны ($DK=DL$, $CK=AL$, $DC=DA$). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, а именно $\angle DKC = \angle DLA$. Поскольку ребра $AB$ и $BC$ были выбраны произвольно, можно заключить, что все двугранные углы правильного тетраэдра равны между собой.

Ответ: Равенство всех двугранных углов доказано.

Найдите эти углы.

Для нахождения величины двугранного угла воспользуемся треугольником $\triangle DKC$, построенным в ходе доказательства. Пусть $\alpha$ — искомый двугранный угол. Тогда $\alpha = \angle DKC$.

Мы знаем длины всех сторон равнобедренного треугольника $\triangle DKC$: $DK = CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и $DC = a$.Применим к этому треугольнику теорему косинусов для нахождения угла $\alpha$:

$DC^2 = DK^2 + CK^2 - 2 \cdot DK \cdot CK \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Сократим обе части уравнения на $a^2$ (так как длина ребра $a \neq 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, величина двугранного угла $\alpha$ равна арккосинусу $1/3$.

Ответ: Величина каждого двугранного угла в правильном тетраэдре равна $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.