Номер 182, страница 58 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

182. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры MA и MB к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость AMB в точке С. а) Докажите, что четырёхугольник АСВM является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки M до прямой а, если AM = m, ВM = n.

а) Докажите, что четырехугольник ACBM является прямоугольником.

1. По условию, $MA$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$). По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $MA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $A$. Поскольку точка $C$ лежит на прямой $a$, то прямая $AC$ совпадает с прямой $a$ или является ее частью, а значит, лежит в плоскости $\alpha$. Следовательно, $MA \perp AC$. Это означает, что угол $\angle MAC = 90^\circ$.

2. Аналогично, по условию, $MB$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, а прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ ($a \subset \beta$). Прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$, так как точки $B$ и $C$ принадлежат этой плоскости. Следовательно, $MB \perp BC$. Это означает, что угол $\angle MBC = 90^\circ$.

3. Так как $MA \perp \alpha$ и $a \subset \alpha$, то $MA \perp a$. Так как $MB \perp \beta$ и $a \subset \beta$, то $MB \perp a$. Прямые $MA$ и $MB$ пересекаются в точке $M$ и определяют плоскость $AMB$. Поскольку прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $MA$ и $MB$ в плоскости $AMB$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $a$ перпендикулярна плоскости $AMB$ ($a \perp (AMB)$).

4. Точка $C$ является точкой пересечения прямой $a$ и плоскости $AMB$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ (так как $A \in \alpha$ и $C \in a \subset \alpha$). Прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$ (так как $B \in \beta$ и $C \in a \subset \beta$). Так как $a \perp (AMB)$, то прямая $a$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $AMB$ и проходящей через точку $C$. В частности, $a \perp AC$ и $a \perp BC$.

5. Поскольку прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна линии пересечения плоскостей $a$, а прямая $BC$ лежит в плоскости $\beta$ и также перпендикулярна $a$, то угол $\angle ACB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По условию, плоскости $\alpha$ и $\beta$ взаимно перпендикулярны, следовательно, $\angle ACB = 90^\circ$.

6. Мы имеем четырехугольник $ACBM$, который лежит в плоскости $AMB$. Мы доказали, что три его угла являются прямыми: $\angle MAC = 90^\circ$, $\angle CBM = 90^\circ$ и $\angle ACB = 90^\circ$. Четырехугольник, у которого три угла прямые, является прямоугольником. Следовательно, $ACBM$ — прямоугольник.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Найдите расстояние от точки M до прямой a, если $AM = m$, $BM = n$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Как было доказано в пункте а), прямая $a$ перпендикулярна плоскости $AMB$ в точке их пересечения $C$. Поскольку отрезок $MC$ лежит в плоскости $AMB$ и проходит через точку $C$, то $MC \perp a$. Таким образом, длина отрезка $MC$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до прямой $a$.

В пункте а) мы также доказали, что $ACBM$ — прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Следовательно, $AC = BM$ и $BC = AM$.

По условию $AM = m$ и $BM = n$. Значит, $BC = m$ и $AC = n$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MAC$. Угол $\angle MAC = 90^\circ$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы $MC$ равен сумме квадратов катетов $MA$ и $AC$: $MC^2 = MA^2 + AC^2$

Подставим известные значения: $MC^2 = m^2 + n^2$

Отсюда, $MC = \sqrt{m^2 + n^2}$.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до прямой $a$ равно $\sqrt{m^2 + n^2}$.

Ответ: $\sqrt{m^2 + n^2}$.