Номер 183, страница 59 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

183. Плоскости α и β пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости γ.

Для доказательства утверждения, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\gamma$, используем прямое доказательство, основанное на свойствах перпендикулярных плоскостей.

По условию задачи имеем:
1. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $a$ ($a = \alpha \cap \beta$).
2. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\alpha \perp \gamma$).
3. Плоскость $\beta$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($\beta \perp \gamma$).

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$. Поскольку прямая $a$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, точка $M$ принадлежит обеим этим плоскостям: $M \in \alpha$ и $M \in \beta$.

Из точки $M$ опустим перпендикуляр $p$ на плоскость $\gamma$. Согласно теореме о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, такая прямая $p$ существует и она единственна. По построению, $p \perp \gamma$.

Теперь воспользуемся свойством взаимно перпендикулярных плоскостей, которое гласит: если из точки, принадлежащей одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, опущен перпендикуляр на вторую плоскость, то он полностью лежит в первой плоскости.

Применим это свойство к паре плоскостей $\alpha$ и $\gamma$. Так как $\alpha \perp \gamma$ и точка $M$ принадлежит плоскости $\alpha$, то перпендикуляр $p$, опущенный из точки $M$ на плоскость $\gamma$, должен лежать в плоскости $\alpha$. То есть, $p \subset \alpha$.

Аналогично применим это свойство к паре плоскостей $\beta$ и $\gamma$. Так как $\beta \perp \gamma$ и точка $M$ принадлежит плоскости $\beta$, то тот же самый перпендикуляр $p$ должен лежать и в плоскости $\beta$. То есть, $p \subset \beta$.

Мы получили, что прямая $p$ одновременно принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $\beta$. Следовательно, прямая $p$ является линией их пересечения. По условию, линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $a$.

Поскольку через точку $M$ проходит единственная линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, прямые $a$ и $p$ должны совпадать: $a = p$.

Так как прямая $p$ по построению перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($p \perp \gamma$), а прямая $a$ совпадает с прямой $p$, то и прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\gamma$ ($a \perp \gamma$).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $a$, являющаяся линией пересечения двух плоскостей $\alpha$ и $\beta$, каждая из которых перпендикулярна плоскости $\gamma$, также перпендикулярна плоскости $\gamma$.