Страница 70 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

218. Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

а)

По определению, призма – это многогранник, у которого две грани (основания) являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые грани) – параллелограммами, соединяющими соответствующие стороны оснований.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Рассмотрим произвольную боковую грань прямой призмы. Пусть это будет грань, образованная стороной основания $A_1A_2$ и соответствующей ей стороной другого основания $B_1B_2$, а также боковыми ребрами $A_1B_1$ и $A_2B_2$. Эта грань $A_1A_2B_2B_1$ по определению призмы является параллелограммом.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, боковое ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости, в которой лежит основание с вершинами $A_1, A_2, \dots$. Это означает, что ребро $A_1B_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A_1$. В частности, ребро $A_1B_1$ перпендикулярно стороне основания $A_1A_2$.

Таким образом, угол $\angle B_1A_1A_2$, образованный сторонами параллелограмма $A_1A_2B_2B_1$, является прямым, то есть его мера составляет $90^\circ$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником.

Так как это рассуждение применимо к любой боковой грани прямой призмы, мы заключаем, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Правильная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Из доказательства в пункте а) следует, что раз правильная призма является частным случаем прямой призмы, то все ее боковые грани – прямоугольники. Остается доказать, что эти прямоугольники равны между собой.

Рассмотрим боковые грани правильной призмы. Каждая такая грань является прямоугольником.

Две стороны каждого такого прямоугольника являются сторонами оснований. Поскольку в основании правильной призмы лежит правильный многоугольник, все его стороны равны. Обозначим длину стороны основания как $a$.

Две другие стороны каждого прямоугольника являются боковыми ребрами призмы. По свойству призмы, все ее боковые ребра параллельны и равны. Обозначим их длину (которая также является высотой призмы) как $h$.

Следовательно, каждая боковая грань представляет собой прямоугольник со сторонами $a$ и $h$.

Прямоугольники считаются равными, если их соответствующие стороны равны. Так как все боковые грани имеют одинаковые размеры $a \times h$, они все равны между собой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

219. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны $a = 12$ см и $b = 5$ см. Обозначим искомое боковое ребро (высоту) параллелепипеда как $h$.

Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между самой диагональю и её проекцией на эту плоскость. Проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ этого основания. Обозначим диагональ основания как $d$.

Боковое ребро $h$, диагональ основания $d$ и диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник, где $h$ и $d$ являются катетами. Угол между диагональю параллелепипеда и её проекцией $d$ по условию равен $45^\circ$.

1. Найдем длину диагонали основания $d$. Основание представляет собой прямоугольник со сторонами 12 см и 5 см. По теореме Пифагора:

$d^2 = 12^2 + 5^2$

$d^2 = 144 + 25 = 169$

$d = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $h$, диагональю основания $d$ и диагональю параллелепипеда. В этом треугольнике катет $h$ является противолежащим к углу в $45^\circ$, а катет $d$ — прилежащим.

Отношение катетов в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс угла:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{d}$

Мы знаем, что $\tan(45^\circ) = 1$ и $d = 13$ см. Подставим эти значения в формулу:

$1 = \frac{h}{13}$

Отсюда следует, что:

$h = 13$ см.

Также можно было заметить, что раз один из острых углов в прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $h = d = 13$ см.

Ответ: 13 см.

220. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

В задаче рассматривается прямой параллелепипед. Это означает, что его боковые ребра перпендикулярны основаниям. Основанием является ромб с диагоналями $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см. Высота параллелепипеда $h = 10$ см.

Диагонали параллелепипеда соединяют противоположные вершины. Чтобы найти длину диагонали параллелепипеда, можно воспользоваться теоремой Пифагора для пространственных фигур. Квадрат диагонали прямого параллелепипеда равен сумме квадрата его высоты и квадрата соответствующей диагонали основания.

Формула для вычисления диагонали параллелепипеда ($D$) следующая: $D = \sqrt{d^2 + h^2}$ где $d$ — диагональ основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

Поскольку у ромба в основании две диагонали разной длины, у параллелепипеда также будут две диагонали разной длины. Большей диагонали основания будет соответствовать большая диагональ параллелепипеда.

1. Найдем диагональ параллелепипеда, соответствующую меньшей диагонали ромба:

Используем $d_1 = 10$ см и $h = 10$ см. $D_1^2 = d_1^2 + h^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$ $D_1 = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

2. Найдем диагональ параллелепипеда, соответствующую большей диагонали ромба:

Используем $d_2 = 24$ см и $h = 10$ см. $D_2^2 = d_2^2 + h^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676$ $D_2 = \sqrt{676} = 26$ см.

3. Сравним полученные диагонали:

$D_1 = 10\sqrt{2} \approx 14.14$ см. $D_2 = 26$ см.

Очевидно, что $26 > 10\sqrt{2}$. Следовательно, большая диагональ параллелепипеда равна 26 см.

Ответ: 26 см.