Номер 259, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

259. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида `SABCD`, где `ABCD` – квадрат в основании, а `S` – вершина пирамиды. Сторона основания `a` равна 6 см.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания – это двугранный угол при ребре основания. Возьмём боковую грань `SBC` и ребро `BC`. Чтобы найти линейный угол этого двугранного угла, проведём апофему `SM` в грани `SBC` (где `M` – середина `BC`). Так как треугольник `SBC` равнобедренный (`SB=SC`), то `SM` является и высотой, то есть `SM \perp BC`.

Пусть `O` – центр квадрата `ABCD` (точка пересечения диагоналей). Тогда `SO` – высота пирамиды. Проведём отрезок `OM`. Так как `M` – середина `BC`, то `OM` является средней линией треугольника `ABC` или просто перпендикуляром из центра квадрата к стороне. Следовательно, `OM \perp BC` и `OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3` см.

Поскольку `SM \perp BC` и `OM \perp BC`, угол `?SMO` является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани `SBC` и плоскостью основания `ABCD`. По условию задачи, `?SMO = 60°`.

Рассмотрим прямоугольный треугольник `SOM` (угол `?SOM = 90°`, так как `SO` – высота, перпендикулярная плоскости основания). Мы знаем катет `OM = 3` см и угол `?SMO = 60°`. Найдём длину апофемы `SM`, которая является гипотенузой в данном треугольнике.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:`\cos(?SMO) = \frac{OM}{SM}`Отсюда `SM = \frac{OM}{\cos(60°)} = \frac{3}{1/2} = 6` см.

Теперь, чтобы найти боковое ребро (например, `SC`), рассмотрим прямоугольный треугольник `SMC` (угол `?SMC = 90°`, так как `SM` – высота грани `SBC`).Катет `MC` равен половине стороны основания:`MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3` см.Другой катет – это апофема `SM = 6` см.Гипотенуза `SC` – искомое боковое ребро.

По теореме Пифагора:`SC^2 = SM^2 + MC^2``SC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45``SC = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}` см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.