Номер 259, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

259. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина пирамиды. Сторона основания $a$ равна 6 см.

Угол наклона боковой грани к плоскости основания – это двугранный угол при ребре основания. Возьмём боковую грань $SBC$ и ребро $BC$. Чтобы найти линейный угол этого двугранного угла, проведём апофему $SM$ в грани $SBC$ (где $M$ – середина $BC$). Так как треугольник $SBC$ равнобедренный ($SB=SC$), то $SM$ является и высотой, то есть $SM \perp BC$.

Пусть $O$ – центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Тогда $SO$ – высота пирамиды. Проведём отрезок $OM$. Так как $M$ – середина $BC$, то $OM$ является средней линией треугольника $ABC$ или просто перпендикуляром из центра квадрата к стороне. Следовательно, $OM \perp BC$ и $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Поскольку $SM \perp BC$ и $OM \perp BC$, угол $?SMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью боковой грани $SBC$ и плоскостью основания $ABCD$. По условию задачи, $?SMO = 60°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $?SOM = 90°$, так как $SO$ – высота, перпендикулярная плоскости основания). Мы знаем катет $OM = 3$ см и угол $?SMO = 60°$. Найдём длину апофемы $SM$, которая является гипотенузой в данном треугольнике.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:$\cos(?SMO) = \frac{OM}{SM}$Отсюда $SM = \frac{OM}{\cos(60°)} = \frac{3}{1/2} = 6$ см.

Теперь, чтобы найти боковое ребро (например, $SC$), рассмотрим прямоугольный треугольник $SMC$ (угол $?SMC = 90°$, так как $SM$ – высота грани $SBC$).Катет $MC$ равен половине стороны основания:$MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.Другой катет – это апофема $SM = 6$ см.Гипотенуза $SC$ – искомое боковое ребро.

По теореме Пифагора:$SC^2 = SM^2 + MC^2$$SC^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45$$SC = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.