Номер 262, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

262. Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.

Пусть дана правильная пирамида $S A_1 A_2 ... A_n$, где $S$ — вершина, а $A_1 A_2 ... A_n$ — правильный многоугольник, лежащий в основании. Пусть $O$ — центр основания. По определению правильной пирамиды, отрезок $SO$ является ее высотой, то есть $SO$ перпендикулярен плоскости основания $(A_1 A_2 ... A_n)$.

Рассмотрим произвольную боковую грань, например, грань $\triangle S A_1 A_2$. Проведем в этой грани высоту $SK$ (которая также называется апофемой пирамиды), где точка $K$ лежит на стороне основания $A_1 A_2$.

Плоскость, о которой говорится в условии задачи, проходит через высоту пирамиды $SO$ и высоту боковой грани $SK$. Эта плоскость однозначно определяется тремя точками $S$, $O$ и $K$. Обозначим эту плоскость как $(SOK)$. Плоскость боковой грани, в которой проведена высота $SK$, — это плоскость $(S A_1 A_2)$.

Нам необходимо доказать, что плоскость $(SOK)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(S A_1 A_2)$.

Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Мы докажем, что прямая $A_1 A_2$, лежащая в плоскости боковой грани $(S A_1 A_2)$, перпендикулярна плоскости $(SOK)$.

Чтобы доказать перпендикулярность прямой $A_1 A_2$ и плоскости $(SOK)$, достаточно показать, что прямая $A_1 A_2$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости $(SOK)$. В качестве таких прямых выберем $SO$ и $OK$.

1. Докажем, что $A_1 A_2 \perp SO$.
   Прямая $SO$ является высотой пирамиды, а значит, $SO \perp (A_1 A_2 ... A_n)$. Прямая $A_1 A_2$ лежит в плоскости основания. Следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости, $SO \perp A_1 A_2$.
2. Докажем, что $A_1 A_2 \perp OK$.
   По построению $SK$ — высота в треугольнике $S A_1 A_2$, то есть $SK \perp A_1 A_2$. Отрезок $OK$ является ортогональной проекцией наклонной $SK$ на плоскость основания $(A_1 A_2 ... A_n)$ (так как $S$ проецируется в $O$, а $K$ — в себя). По теореме о трех перпендикулярах: если наклонная ($SK$) перпендикулярна некоторой прямой на плоскости ($A_1 A_2$), то и ее проекция ($OK$) на эту плоскость перпендикулярна той же прямой. Таким образом, $OK \perp A_1 A_2$.

Итак, мы показали, что прямая $A_1 A_2$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($SO$ и $OK$) в плоскости $(SOK)$. Из этого по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что $A_1 A_2 \perp (SOK)$.

Плоскость боковой грани $(S A_1 A_2)$ содержит прямую $A_1 A_2$, которая, как мы доказали, перпендикулярна плоскости $(SOK)$. Следовательно, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $(S A_1 A_2)$ перпендикулярна плоскости $(SOK)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.