Номер 264, страница 77 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Параграф 2. Пирамида. Глава 3. Многогранники - номер 264, страница 77.

Условие.

264. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона её основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведённого через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида, сторона основания которой равна $a$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ такой пирамиды равна произведению количества боковых граней на площадь одной грани. Так как граней шесть и все они равны, то $S_{бок} = 6 \cdot S_{грані}$.

Площадь боковой грани, которая является равнобедренным треугольником, вычисляется по формуле: $S_{грані} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a}$, где $a$ — сторона основания, а $h_{a}$ — апофема пирамиды (высота боковой грани).

Сечение, проведённое через вершину пирамиды и большую диагональ основания, также является треугольником. Основанием этого треугольника служит большая диагональ правильного шестиугольника. Длина большой диагонали $d$ для шестиугольника со стороной $a$ равна $d = 2a$. Высотой этого треугольника-сечения является высота пирамиды $H$.

Площадь сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot H = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot H = a \cdot H$.

По условию задачи, площадь боковой грани равна площади сечения:$S_{грані} = S_{сеч}$

$\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = a \cdot H$

Сократив обе части на $a$ (так как $a$ - длина стороны, $a \ne 0$), получаем:

$\frac{1}{2} h_{a} = H \implies h_{a} = 2H$.

Теперь свяжем высоту пирамиды $H$, апофему $h_{a}$ и сторону основания $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, апофемой пирамиды $h_{a}$ (которая является гипотенузой) и апофемой основания $r$ (которая является вторым катетом). Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ равна радиусу вписанной окружности и вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По теореме Пифагора:$h_{a}^2 = H^2 + r^2$

Подставим в это уравнение известные нам соотношения $h_{a} = 2H$ и $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$(2H)^2 = H^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$4H^2 = H^2 + \frac{3a^2}{4}$

$3H^2 = \frac{3a^2}{4}$

$H^2 = \frac{a^2}{4}$

$H = \frac{a}{2}$ (высота не может быть отрицательной).

Теперь найдем апофему пирамиды $h_{a}$:$h_{a} = 2H = 2 \cdot \frac{a}{2} = a$.

Зная апофему, можем вычислить площадь одной боковой грани:$S_{грані} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2}$.

Наконец, находим площадь боковой поверхности пирамиды:$S_{бок} = 6 \cdot S_{грані} = 6 \cdot \frac{a^2}{2} = 3a^2$.

Ответ: $3a^2$