Страница 84 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

271. Перерисуйте развёртку правильного тетраэдра (рис. 95) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку (сделав необходимые припуски для склеивания) и склейте из неё тетраэдр.

Для изготовления модели правильного тетраэдра из развёртки, показанной на рисунке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка материалов и инструментов

Перед началом работы убедитесь, что у вас есть всё необходимое:

• Плотный лист бумаги или тонкого картона (например, ватман).
• Карандаш и ластик.
• Линейка.
• Циркуль (для наиболее точного построения) или транспортир.
• Ножницы.
• Клей для бумаги (ПВА или клей-карандаш).

2. Построение развёртки

Развёртка правильного тетраэдра состоит из четырёх одинаковых равносторонних треугольников. Чтобы начертить её в увеличенном масштабе, следуйте инструкции:

1. Выберите длину стороны для маленьких треугольников, из которых будет состоять тетраэдр. Обозначим эту длину как $a$. Для удобства можно взять $a = 8$ см или $a = 10$ см.
2. Начертите центральный равносторонний треугольник со стороной $a$. Самый точный способ сделать это — с помощью циркуля и линейки:
   • Начертите горизонтальный отрезок $AB$ длиной $a$.
   • Установите раствор циркуля равным длине отрезка $a$.
   • Из точки $A$ проведите дугу окружности над отрезком.
   • Не меняя раствора циркуля, из точки $B$ проведите вторую дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения дуг обозначьте как $C$.
   • Соедините точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ — равносторонний.
3. Теперь на каждой из трёх сторон треугольника $ABC$ постройте по такому же равностороннему треугольнику. Для этого повторите шаг 2 для каждой из сторон $AB$, $BC$ и $AC$, строя новые треугольники с внешней стороны от центрального. В результате у вас получится один большой равносторонний треугольник, разделенный на четыре малых.
4. Добавьте припуски для склеивания. Это небольшие трапециевидные или прямоугольные "язычки" шириной около 1 см. Их нужно пририсовать к трём сторонам развёртки, которые будут склеиваться друг с другом. Удобнее всего расположить их на одной из свободных сторон каждого из трёх "внешних" треугольников.

3. Вырезание, сгибание и склеивание

1. Аккуратно вырежьте получившуюся фигуру по внешнему контуру, включая припуски для склеивания.
2. Чтобы сгибы получились ровными и чёткими, продавите все внутренние линии развёртки (стороны малых треугольников) с помощью линейки и тупого предмета (например, обратной стороны ножниц, непишущей шариковой ручки или пустого стержня).
3. Согните бумагу по всем продавоенным линиям. "Внешние" треугольники нужно согнуть вверх относительно центрального. Также согните клапаны для склейки.
4. Соберите тетраэдр. Для этого поднимите три боковых треугольника так, чтобы их вершины сошлись в одной точке над центром основания.
5. Нанесите клей на внешнюю сторону припусков и приклейте их к соседним граням изнутри. Прижимайте места склейки на несколько секунд, чтобы клей схватился.

После высыхания клея ваша модель правильного тетраэдра готова.

Ответ: В результате выполнения описанных действий будет изготовлена бумажная модель правильного тетраэдра — многогранника, состоящего из четырех граней, каждая из которых является равносторонним треугольником.

272. Перерисуйте развёртку куба (рис. 96) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё куб.

Перерисуйте развёртку куба (рис. 96) на плотный лист бумаги в большем масштабе

Для выполнения этой части задания необходимо подготовить материалы и начертить развёртку.

1. Подготовка материалов. Вам понадобятся: плотный лист бумаги (например, чертёжной) или тонкий картон, простой карандаш, линейка, ластик, ножницы и клей для бумаги.

2. Выбор масштаба. Куб состоит из 6 одинаковых граней-квадратов. Чтобы модель получилась больше, чем на рисунке, выберите длину стороны квадрата (ребра куба), например, $a = 5$ см или $a = 6$ см.

3. Черчение развёртки. На листе бумаги начертите развёртку, как на рисунке. Она имеет форму креста.
- С помощью линейки и карандаша начертите горизонтальный ряд из четырёх квадратов со стороной $a$. Следите, чтобы все углы были прямыми (90°), а стороны — равными.
- Ко второму квадрату слева в этом ряду пририсуйте сверху ещё один такой же квадрат.
- К этому же второму квадрату пририсуйте снизу ещё один квадрат.
Таким образом, у вас получится фигура из шести одинаковых квадратов.

4. Добавление клапанов для склейки. Для прочного и аккуратного соединения граней необходимо нарисовать клапаны — небольшие трапециевидные или прямоугольные полоски шириной около 1 см на некоторых внешних сторонах развёртки. На них будет наноситься клей.

Ответ: На плотной бумаге начерчена развёртка куба, состоящая из 6 квадратов со стороной $a$, выбранной для увеличения масштаба, и с добавленными клапанами для склеивания.

Вырежьте развёртку

После того как чертёж готов, его нужно аккуратно вырезать и подготовить к сборке.

1. Вырезание. Возьмите ножницы и вырежьте начерченную фигуру по внешнему контуру, включая нарисованные клапаны. Внутренние линии, разделяющие квадраты, разрезать не надо.

2. Сгибание. Чтобы сгибы получились ровными и чёткими, приложите линейку к каждой внутренней линии чертежа и согните бумагу. Для лучшего результата можно предварительно продавить эти линии сгиба непишущей ручкой или тупым концом ножниц (этот приём называется биговка). Необходимо согнуть заготовку по всем внутренним линиям, включая линии у основания клапанов.

Ответ: Развёртка вырезана по внешнему контуру и согнута по всем внутренним линиям.

Склейте из неё куб

Это заключительный этап создания объёмной модели куба.

1. Формирование куба. Сложите из согнутой развёртки куб. Мысленно выберите один из центральных квадратов за основание, а соседние с ним квадраты поднимите вверх — это будут боковые стенки.

2. Склеивание. Нанесите тонкий слой клея на внешнюю сторону клапанов. Поочерёдно соединяйте грани куба, подклеивая клапаны к внутренним сторонам соседних граней. Удобнее сначала собрать "коробку" без "крышки", а затем приклеить последнюю грань, закрыв куб. Прижимайте склеиваемые части друг к другу на несколько секунд, чтобы клей зафиксировал их. После полного высыхания клея модель будет готова.

Ответ: Из вырезанной и согнутой развёртки склеена объёмная модель куба.

273. Перерисуйте развёртку правильного октаэдра (рис. 97) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё октаэдр.

Для того чтобы перерисовать развёртку правильного октаэдра и склеить из неё объёмную фигуру, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Подготовка материалов

Прежде чем начать, убедитесь, что у вас есть всё необходимое:

• Плотный лист бумаги или тонкий картон (формата А4 или больше, чтобы сделать модель крупнее).
• Хорошо заточенный карандаш и ластик.
• Линейка.
• Циркуль (обязателен для построения точных равносторонних треугольников).
• Ножницы.
• Клей для бумаги или картона (например, ПВА или качественный клей-карандаш).
• Предмет для биговки (продавливания линий сгиба) — например, непишущая шариковая ручка, тупая сторона ножа или специальный инструмент.

2. Построение развёртки (копирование рис. 97)

Развёртка правильного октаэдра состоит из 8 одинаковых равносторонних треугольников. Чтобы точно воспроизвести фигуру с рисунка 97, следуйте этой инструкции:

1. Выберите длину стороны треугольника. Обозначим её $a$. Рекомендуемая длина — от 4 до 6 см. Чем больше $a$, тем крупнее и проще в сборке будет модель. Установите раствор циркуля на эту длину и не меняйте его до конца чертежа.

2. Начнём с центральной части развёртки. Начертите первый равносторонний треугольник. Для этого нарисуйте отрезок-основание, а затем с помощью циркуля найдите третью вершину, проведя дуги из концов отрезка.

3. Глядя на рис. 97, последовательно пристраивайте к первому треугольнику соседние. Например, если вы начертили один из двух центральных треугольников, смотрящих вверх, пристройте к его боковым сторонам ещё по одному треугольнику. Затем пристройте треугольник к его нижней вершине (он будет "смотреть" вниз).

4. Самый надёжный способ — копировать структуру с рисунка. Посмотрите, какие треугольники имеют общие стороны, и воспроизводите это на своём чертеже. Используйте циркуль, чтобы каждая новая сторона была равна $a$. Построение выглядит так:

   • Начертите центральный ромб, состоящий из двух равносторонних треугольников, соприкасающихся основаниями.
   • К двум противоположным вершинам этого ромба пристройте ещё по одному треугольнику. Теперь у вас фигура из 4 треугольников.
   • Симметрично первой паре "крыльев" пристройте ещё два треугольника к двум другим сторонам центрального ромба.
   • Наконец, пристройте последние два треугольника к оставшимся свободным внешним сторонам. Внимательно сверяйтесь с топологией (схемой соединения) на рис. 97.

В результате у вас должна получиться фигура, идентичная изображённой на рисунке 97, состоящая из 8 равносторонних треугольников.

3. Добавление клапанов для склейки

Чтобы модель можно было аккуратно склеить, к некоторым сторонам развёртки нужно дорисовать небольшие трапециевидные или прямоугольные "язычки" — клапаны. Их ширина может быть около 5-7 мм.

• Добавьте клапаны на тех рёбрах, которые при склейке будут соединяться с другими рёбрами. Хорошей практикой является добавление клапанов через одно внешнее ребро. Например, можно добавить 7 клапанов на внешние рёбра развёртки.

4. Вырезание, сгибание и склейка

1. Вырезание: Аккуратно вырежьте развёртку по внешнему контуру, включая нарисованные клапаны.

2. Сгибание: Положите линейку на каждую внутреннюю линию чертежа и с нажимом проведите по ней тупым предметом (сделайте биговку). Это создаст аккуратную канавку, по которой бумага согнётся ровно и без заломов. Согните все линии, включая линии клапанов.

3. Склейка: Начните формировать объёмную фигуру. Сначала можно собрать две "половинки" октаэдра — две четырёхугольные пирамиды. Каждая состоит из 4 треугольников, сходящихся в одной вершине. Затем наносите клей на клапаны и последовательно соединяйте грани. Последние грани склеивать сложнее всего — здесь потребуется терпение и аккуратность.

Ответ: В результате выполнения всех шагов у вас получится модель правильного октаэдра — одного из пяти Платоновых тел. Это объёмная фигура, имеющая 8 граней (в виде равносторонних треугольников), 12 рёбер одинаковой длины и 6 вершин, в каждой из которых сходится по 4 ребра.

274. Перерисуйте развёртку правильного додекаэдра (рис. 98) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё додекаэдр.

Задача состоит в том, чтобы изготовить трёхмерную модель правильного додекаэдра — многогранника, состоящего из 12 одинаковых правильных пятиугольников. Для этого необходимо последовательно выполнить несколько шагов, описанных ниже.

Перерисуйте развёртку

Первый этап — создание точного чертежа развёртки на плотной бумаге или картоне в увеличенном масштабе.

Необходимые материалы:

• Плотный лист бумаги или тонкий картон
• Карандаш и ластик
• Линейка
• Транспортир

Процесс построения:

1. Построение правильного пятиугольника. Это основа всей развёртки. Выберите желаемую длину стороны (например, 4-5 см, чтобы модель получилась достаточно крупной). Начертите отрезок этой длины. Внутренний угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$, что следует из формулы для внутреннего угла правильного n-угольника $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$ при $n=5$. С помощью транспортира отложите от концов отрезка углы по $108^\circ$ и начертите две новые стороны той же длины. Повторите операцию, чтобы замкнуть пятиугольник.
2. Создание полной развёртки. Используя первый пятиугольник как образец, начертите всю развёртку, как показано на рис. 98. Она состоит из 12 соединённых между собой пятиугольников. Следите за тем, чтобы все стороны были одинаковой длины и все углы были правильными.
3. Добавление клапанов для склейки. Для последующей сборки к некоторым внешним сторонам развёртки необходимо пририсовать небольшие клапаны — трапециевидные или прямоугольные "язычки" шириной около 5–10 мм. Они будут промазываться клеем и заправляться внутрь модели для соединения граней.

Вырежьте развёртку

На этом этапе плоский чертёж подготавливается к сборке.

Необходимые инструменты:

• Ножницы или канцелярский нож
• Тупой предмет для биговки (например, непишущая ручка или уголок линейки)

Процесс вырезания и сгибания:

1. Аккуратно вырежьте развёртку по внешнему контуру, включая клапаны.
2. Чтобы сгибы получились ровными и чёткими, продавите все внутренние линии (рёбра додекаэдра) по линейке с помощью тупого предмета. Этот процесс называется биговкой.
3. Согните развёртку по всем продавоенным линиям. Все сгибы должны быть направлены в одну сторону (внутрь будущей фигуры).

Склейте из неё додекаэдр

Завершающий этап — сборка объёмной фигуры из подготовленной развёртки.

Необходимые материалы:

• Клей (ПВА, клей-карандаш или универсальный клей)

Процесс склейки:

1. Начните сборку. Наносите клей тонким слоем на клапаны и последовательно соединяйте соответствующие рёбра додекаэдра.
2. Удобнее всего сначала собрать "чашу" из центрального пятиугольника и пяти прилегающих к нему.
3. Постепенно присоединяйте остальные грани, формируя замкнутую фигуру. Придерживайте склеиваемые части на несколько секунд для надёжной фиксации.
4. Последний пятиугольник устанавливается как "крышка". Нанесите клей на все оставшиеся клапаны и аккуратно завершите сборку модели.
5. Дайте клею полностью высохнуть.

Ответ: Чтобы изготовить додекаэдр, нужно: 1) начертить на плотной бумаге развёртку из 12 одинаковых правильных пятиугольников с клапанами для склейки; 2) вырезать развёртку и согнуть её по рёбрам; 3) последовательно склеить грани с помощью клапанов, формируя объёмную фигуру.

275. Перерисуйте развёртку правильного икосаэдра (рис. 99) на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развёртку и склейте из неё икосаэдр.

Данное задание является практическим и заключается в создании бумажной модели правильного икосаэдра. Икосаэдр — это один из пяти платоновых тел, правильный многогранник, состоящий из 20 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. В каждой вершине икосаэдра сходится 5 рёбер.

Для выполнения задания следуйте пошаговой инструкции:

Шаг 1: Подготовка материалов

Вам понадобятся следующие инструменты и материалы:

• Плотный лист бумаги или тонкий картон (формата А4 или больше).
• Остро заточенный карандаш и ластик.
• Линейка.
• Циркуль (рекомендуется для высокой точности).
• Ножницы или канцелярский нож.
• Клей для бумаги (ПВА или клей-карандаш).

Шаг 2: Создание чертежа развёртки

Развёртка на рис. 99 состоит из 20 одинаковых равносторонних треугольников. Важно начертить их максимально точно.

1. Выберите размер. Определите длину стороны одного треугольника (например, 3-4 см). Чем больше сторона, тем крупнее будет модель и тем легче её будет склеивать.
2. Начертите равносторонний треугольник. С помощью линейки начертите отрезок AB — основание треугольника. Затем с помощью циркуля из точек A и B проведите дуги радиусом, равным длине отрезка AB. Точка их пересечения C будет третьей вершиной. Соедините точки A, B и C. Все углы такого треугольника равны $60^\circ$.
3. Перерисуйте развёртку. Аккуратно, используя построенный треугольник как шаблон или каждый раз чертя новый, воспроизведите схему с рисунка 99 на вашем листе бумаги. Хотя с первого взгляда может показаться, что треугольников меньше, на самом деле на развёртке их ровно 20, что необходимо для построения икосаэдра. Рекомендуется начать чертёж с центральной части фигуры и последовательно добавлять остальные треугольники, сверяясь с рисунком.
4. Добавьте клапаны для склейки. Чтобы модель можно было склеить, к некоторым внешним сторонам треугольников нужно дорисовать небольшие трапециевидные "язычки" (клапаны) шириной 5-7 мм. Добавляйте клапан к одной из двух сторон, которые будут склеиваться вместе. Удобно добавить клапаны примерно к половине всех внешних рёбер развёртки.

Шаг 3: Вырезание и сгибание

1. Вырежьте развёртку. С помощью ножниц или канцелярского ножа аккуратно вырежьте всю фигуру по внешнему контуру, включая клапаны для склейки.
2. Сделайте сгибы. Чтобы сгибы были ровными и чёткими, перед сгибанием продавите все внутренние линии чертежа (линии, по которым будут проходить сгибы). Для этого можно использовать линейку и тупой предмет, например, непишущую шариковую ручку или обратную сторону лезвия ножниц.
3. Согните по линиям. Аккуратно согните бумагу по всем продавоенным линиям. Все сгибы должны быть направлены в одну сторону (внутрь будущей модели).

Шаг 4: Сборка икосаэдра

1. Начните склейку. Наносите клей тонким слоем на клапаны и последовательно соединяйте соответствующие рёбра многогранника.
2. Формирование модели. Начинайте сборку, формируя из развёртки замкнутую объёмную фигуру. Удобно сначала склеить части, образующие "полюса" (вершины, где сходятся 5 треугольников), а затем соединить их центральным "поясом" из 10 треугольников.
3. Завершение сборки. Последние несколько клапанов склеивать может быть неудобно, здесь потребуется терпение и аккуратность. Можно использовать пинцет, чтобы прижать клапан изнутри. Дайте клею полностью высохнуть.

Ответ: Результатом выполнения задания является готовая бумажная модель правильного икосаэдра, склеенная из перерисованной и вырезанной развёртки.

276. Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?

а) Центром симметрии геометрической фигуры называется такая точка $O$, что для любой точки $M$, принадлежащей фигуре, симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ также принадлежит этой фигуре.
Параллелепипед имеет один центр симметрии. Этим центром является точка пересечения его диагоналей. Все четыре пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Обозначим эту точку $O$.
Если взять любую вершину параллелепипеда, то симметричная ей точка относительно $O$ будет противоположной вершиной. Для любой точки на грани или ребре симметричная ей точка будет находиться на противоположной грани или ребре. Для любой внутренней точки симметричная ей точка также будет внутренней. Таким образом, вся фигура симметрична относительно точки $O$.
Можно доказать, что этот центр единственный. Предположим, что существует другой центр симметрии $O'$. Композиция двух центральных симметрий относительно точек $O$ и $O'$ является параллельным переносом на вектор $2\vec{O'O}$. Если фигура симметрична относительно $O$ и $O'$, она должна быть инвариантна и относительно этого переноса. Однако параллелепипед — ограниченная фигура и не может переходить в себя при нетривиальном параллельном переносе. Следовательно, вектор переноса должен быть нулевым, что означает $O'=O$.
Таким образом, у параллелепипеда ровно один центр симметрии.
Ответ: 1.

б) Правильная треугольная призма — это призма, в основаниях которой лежат два равных правильных треугольника, а боковые грани — прямоугольники, перпендикулярные основаниям.
Попытаемся найти у нее центр симметрии. Если такая точка и существует, то она должна совпадать с геометрическим центром фигуры — серединой отрезка, соединяющего центры оснований. Назовем эту точку $O$.
Рассмотрим любую вершину $A$ одного из оснований. Чтобы точка $O$ была центром симметрии, симметричная точке $A$ относительно $O$ точка $A'$ также должна принадлежать призме.
В центрально-симметричном многограннике точка, симметричная вершине, также должна быть вершиной. Однако для правильной треугольной призмы это не выполняется. Точка, симметричная вершине одного основания относительно центра $O$, не совпадает ни с одной из вершин другого основания. Например, если расположить центр $O$ в начале координат, а основания в плоскостях $z=-h/2$ и $z=h/2$, то вершина нижнего основания может иметь координаты $A(r, 0, -h/2)$. Симметричная ей точка будет $A'(-r, 0, h/2)$, которая не является вершиной верхнего основания, так как его вершины имеют другие координаты.
Следовательно, правильная треугольная призма не имеет центра симметрии.
Ответ: 0.

в) Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой (ребра).
Проанализируем наличие центра симметрии. Если центр симметрии $O$ существует, он должен лежать на ребре двугранного угла. Если предположить, что $O$ находится вне ребра, то для любой точки $M$ на ребре симметричная ей точка $M'$ не будет лежать на ребре. Множество всех таких симметричных точек (прямая, параллельная ребру) должно было бы принадлежать фигуре, что невозможно для двугранного угла.
Итак, поместим ребро на ось $z$, а потенциальный центр симметрии $O$ — в начало координат $(0,0,0)$. Пусть одна полуплоскость лежит в плоскости $xz$ при $x \ge 0$. Любая точка $M$ на этой полуплоскости имеет координаты $(x_M, 0, z_M)$, где $x_M \ge 0$. Симметричная ей относительно $O$ точка $M'$ имеет координаты $(-x_M, 0, -z_M)$.
Чтобы точка $M'$ принадлежала фигуре, она должна лежать на одной из двух полуплоскостей. На первой полуплоскости она лежать не может (кроме случая $x_M=0$, т.е. когда $M$ на ребре), так как ее координата $x$ неположительна. Чтобы $M'$ лежала на второй полуплоскости, та должна содержать эту точку.
Это условие выполняется только в одном частном случае: если угол между полуплоскостями $\alpha = \pi$ (развернутый угол), то есть когда две полуплоскости образуют единую плоскость. В этом случае точка $M'$ лежит в той же плоскости. Более того, для плоскости любая ее точка является центром симметрии. Таким образом, развернутый двугранный угол (плоскость) имеет бесконечно много центров симметрии.
Однако для любого неразвернутого двугранного угла ($0 < \alpha < \pi$), точка $M'$ не будет принадлежать второй полуплоскости. Следовательно, такой двугранный угол не имеет центра симметрии. В стандартном понимании термин "двугранный угол" подразумевает неразвернутый угол.
Ответ: 0 (для неразвернутого угла). Если угол развернутый ($\alpha=\pi$), то есть фигура является плоскостью, то центров симметрии бесконечно много.

г) Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками (концами отрезка), включающая все точки между ними.
Отрезок имеет один центр симметрии. Этим центром является середина отрезка. Обозначим концы отрезка $A$ и $B$, а его середину — $O$.
Для любой точки $M$ на отрезке $AB$ симметричная ей точка $M'$ относительно $O$ также будет лежать на прямой $AB$, причем на том же расстоянии от $O$: $|OM'| = |OM|$. Так как $M$ принадлежит отрезку, расстояние от нее до центра не превышает половины длины отрезка ($|OM| \le |OA|$). Следовательно, $|OM'| \le |OA|$, что означает, что точка $M'$ также принадлежит отрезку $AB$. Таким образом, середина отрезка является его центром симметрии.
Единственность этого центра доказывается так же, как и для параллелепипеда: наличие второго центра симметрии привело бы к инвариантности фигуры относительно параллельного переноса, что невозможно для ограниченной фигуры, какой является отрезок.
Следовательно, отрезок имеет ровно один центр симметрии.
Ответ: 1.

277. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб?

а) отрезок

Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Для отрезка существует две такие оси симметрии.
1. Первая ось — это прямая, на которой лежит сам отрезок. При отражении относительно этой прямой каждая точка отрезка остается на своем месте.
2. Вторая ось — это серединный перпендикуляр к отрезку. Это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. При отражении относительно этой прямой концы отрезка меняются местами, а сам отрезок совмещается с собой.
Таким образом, у отрезка две оси симметрии.

Ответ: 2.

б) правильный треугольник

Правильный (или равносторонний) треугольник имеет три оси симметрии. Каждая из осей проходит через одну из вершин треугольника и середину противолежащей стороны. Эти прямые являются одновременно высотами, медианами и биссектрисами этого треугольника.
При отражении относительно любой из этих трёх осей треугольник совмещается сам с собой.

Ответ: 3.

в) куб

Для трехмерных фигур ось симметрии — это прямая, при повороте вокруг которой на определенный угол (меньший $360^\circ$) фигура совмещается сама с собой. У куба есть 13 осей симметрии, которые делятся на три вида:
1. Оси, проходящие через центры противоположных граней. У куба 6 граней, следовательно, 3 пары противоположных граней. Поворот на $90^\circ$, $180^\circ$ или $270^\circ$ вокруг такой оси совмещает куб с самим собой. Всего таких осей 3.
2. Оси, проходящие через середины противоположных ребер. У куба 12 ребер, то есть 6 пар противоположных ребер. Поворот на $180^\circ$ вокруг такой оси совмещает куб с самим собой. Всего таких осей 6.
3. Оси, проходящие через противоположные вершины (их еще называют главными диагоналями куба). У куба 8 вершин, то есть 4 пары противоположных вершин. Поворот на $120^\circ$ или $240^\circ$ вокруг такой оси совмещает куб с самим собой. Всего таких осей 4.
Общее число осей симметрии куба равно сумме осей всех типов: $3 + 6 + 4 = 13$.

Ответ: 13.

278. Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырёхугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырёхугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?

а)

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму, не являющуюся кубом. В основании такой призмы лежит квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками. Условие "отличная от куба" означает, что высота призмы $h$ не равна стороне основания $a$ ($h \neq a$). Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально равные части.

Плоскости симметрии такой призмы можно разделить на следующие группы:

1. Одна горизонтальная плоскость симметрии. Эта плоскость параллельна основаниям призмы и проходит через середины всех её боковых рёбер. Она делит призму на две одинаковые меньшие призмы.
2. Две вертикальные плоскости симметрии, проходящие через середины противолежащих сторон оснований. Каждая такая плоскость перпендикулярна основаниям и проходит через оси симметрии квадрата, соединяющие середины его противоположных сторон.
3. Две вертикальные диагональные плоскости симметрии. Каждая такая плоскость проходит через диагональ верхнего и нижнего оснований. Эти плоскости содержат две противоположные боковые грани.

Итого, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 2 + 2 = 5$.

Ответ: 5

б)

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду. В её основании лежит квадрат, а вершина пирамиды проецируется в центр этого квадрата. Боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники.

Все плоскости симметрии такой пирамиды должны проходить через её вершину. Если бы плоскость симметрии не проходила через вершину, она бы не могла разделить пирамиду на две зеркально равные части. Следовательно, плоскости симметрии будут вертикальными (перпендикулярными основанию) и будут проходить через оси симметрии квадрата, лежащего в основании.

Квадрат имеет четыре оси симметрии, что даёт нам четыре плоскости симметрии для пирамиды:

1. Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и прямые, соединяющие середины противолежащих сторон основания. Каждая такая плоскость содержит апофемы двух противоположных боковых граней.
2. Две плоскости, проходящие через вершину пирамиды и диагонали основания. Каждая такая плоскость содержит два противоположных боковых ребра.

Таким образом, всего у правильной четырёхугольной пирамиды $2 + 2 = 4$ плоскости симметрии.

Ответ: 4

в)

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду. В её основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, а вершина проецируется в центр основания (точку пересечения медиан, биссектрис и высот). Боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Важно отметить, что в общем случае это не правильный тетраэдр (у которого все грани — равные равносторонние треугольники).

Аналогично предыдущему случаю, все плоскости симметрии должны проходить через вершину пирамиды и ось симметрии её основания.

Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Каждая ось проходит через вершину треугольника и середину противолежащей стороны (являясь одновременно медианой, высотой и биссектрисой).

Соответственно, правильная треугольная пирамида имеет три плоскости симметрии. Каждая из них проходит через вершину пирамиды, одну из вершин основания и середину противоположной стороны основания. Такая плоскость содержит одно боковое ребро и апофему противолежащей боковой грани.

Следовательно, у правильной треугольной пирамиды 3 плоскости симметрии. (Стоит отметить, что у правильного тетраэдра, являющегося частным случаем, их 6).

Ответ: 3

279. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.

Для нахождения угла между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец, можно использовать геометрический или векторный способ. Рассмотрим куб с длиной ребра, равной $a$.

Геометрический способ

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем одну из его вершин в качестве общего конца для диагоналей, например, вершину $A$. Из этой вершины исходят три диагонали граней, которые лежат на гранях, сходящихся в этой вершине:

• $AC$ — диагональ грани $ABCD$
• $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$
• $AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$

Найдем угол между двумя любыми из этих диагоналей, например, между $AC$ и $AB_1$. Эти две диагонали и отрезок $B_1C$, соединяющий их другие концы, образуют треугольник $\triangle AB_1C$. Угол, который нам нужно найти, — это угол $\angle CAB_1$ в этом треугольнике.

Найдем длины сторон треугольника $\triangle AB_1C$. Каждая грань куба является квадратом со стороной $a$. Длина диагонали такого квадрата по теореме Пифагора равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

• Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$, поэтому ее длина $AC = a\sqrt{2}$.
• Сторона $AB_1$ является диагональю квадрата $ABB_1A_1$, поэтому ее длина $AB_1 = a\sqrt{2}$.
• Сторона $B_1C$ является диагональю квадрата $BCC_1B_1$, поэтому ее длина $B_1C = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle AB_1C$ равны ($AC = AB_1 = B_1C = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle CAB_1$ также равен $60^\circ$.

Векторный способ

Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в общий конец диагоналей — вершину $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$.

Координаты вершин, образующих диагонали $AC$ и $AB_1$, будут: $C(a, a, 0)$ и $B_1(a, 0, a)$.

Найдем векторы, соответствующие этим диагоналям:

• $\vec{AC} = \{a - 0; a - 0; 0 - 0\} = \{a; a; 0\}$
• $\vec{AB_1} = \{a - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{a; 0; a\}$

Угол $\theta$ между векторами можно найти через их скалярное произведение по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{AB_1} = (a \cdot a) + (a \cdot 0) + (0 \cdot a) = a^2$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\theta) = \frac{a^2}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$.

Угол $\theta$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $60^\circ$.

280. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

Условие задачи допускает два варианта толкования, которые зависят от взаимного расположения граней, диагонали которых образуют сечение. Сечение может проходить через диагонали двух противоположных или двух смежных граней. Рассмотрим оба этих случая.

Пусть нам дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра, равной $a$. Возьмем две противоположные грани куба, например, нижнюю $ABCD$ и верхнюю $A_1B_1C_1D_1$. Проведем в этих гранях диагонали $AC$ и $A_1C_1$.

Поскольку грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и равны, то диагонали $AC$ и $A_1C_1$ также параллельны и равны. Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость. Эта плоскость образует сечение $ACC_1A_1$. Фигура $ACC_1A_1$ является прямоугольником, так как ребра $AA_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости.

Найдем стороны этого прямоугольника. Одна сторона, $AA_1$, является ребром куба, ее длина равна $a$. Другая сторона, $AC$, является диагональю грани (квадрата) $ABCD$. Найдем ее длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $B$ прямой):
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь сечения (прямоугольника $ACC_1A_1$) равна произведению длин его смежных сторон:
$S_1 = AA_1 \cdot AC = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.
Ответ: $a^2\sqrt{2}$.

Рассмотрим тот же куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Возьмем две смежные (имеющие общее ребро) грани, например, грань $ABCD$ и грань $ADD_1A_1$. Чтобы диагонали этих граней лежали в одной плоскости, они должны пересекаться. Это возможно, если они выходят из общей вершины, в данном случае — из вершины $A$. Возьмем диагональ $AC$ грани $ABCD$ и диагональ $AD_1$ грани $ADD_1A_1$.

Через две пересекающиеся прямые $AC$ и $AD_1$ проходит единственная плоскость. Эта плоскость отсекает от куба треугольник $ACD_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

• Сторона $AC$ — это диагональ грани $ABCD$. Как мы уже рассчитали в первом случае, ее длина равна $a\sqrt{2}$.
• Сторона $AD_1$ — это диагональ грани $ADD_1A_1$. Так как эта грань также является квадратом со стороной $a$, ее диагональ имеет такую же длину: $AD_1 = a\sqrt{2}$.
• Сторона $CD_1$ соединяет вершины $C$ и $D_1$. Она является диагональю грани $CDD_1C_1$. Следовательно, ее длина также равна $CD_1 = a\sqrt{2}$.

Все три стороны треугольника $ACD_1$ равны $a\sqrt{2}$, значит, этот треугольник является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ находится по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в нее длину стороны $s = a\sqrt{2}$:
$S_2 = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, из-за неоднозначности формулировки в условии, задача имеет два возможных решения.