Номер 279, страница 84 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

279. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.

Для нахождения угла между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец, можно использовать геометрический или векторный способ. Рассмотрим куб с длиной ребра, равной $a$.

Геометрический способ

Пусть дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выберем одну из его вершин в качестве общего конца для диагоналей, например, вершину $A$. Из этой вершины исходят три диагонали граней, которые лежат на гранях, сходящихся в этой вершине:

• $AC$ — диагональ грани $ABCD$
• $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$
• $AD_1$ — диагональ грани $ADD_1A_1$

Найдем угол между двумя любыми из этих диагоналей, например, между $AC$ и $AB_1$. Эти две диагонали и отрезок $B_1C$, соединяющий их другие концы, образуют треугольник $\triangle AB_1C$. Угол, который нам нужно найти, — это угол $\angle CAB_1$ в этом треугольнике.

Найдем длины сторон треугольника $\triangle AB_1C$. Каждая грань куба является квадратом со стороной $a$. Длина диагонали такого квадрата по теореме Пифагора равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

• Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$, поэтому ее длина $AC = a\sqrt{2}$.
• Сторона $AB_1$ является диагональю квадрата $ABB_1A_1$, поэтому ее длина $AB_1 = a\sqrt{2}$.
• Сторона $B_1C$ является диагональю квадрата $BCC_1B_1$, поэтому ее длина $B_1C = a\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $\triangle AB_1C$ равны ($AC = AB_1 = B_1C = a\sqrt{2}$), этот треугольник является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$. Следовательно, искомый угол $\angle CAB_1$ также равен $60^\circ$.

Векторный способ

Введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в общий конец диагоналей — вершину $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$ и ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$.

Координаты вершин, образующих диагонали $AC$ и $AB_1$, будут: $C(a, a, 0)$ и $B_1(a, 0, a)$.

Найдем векторы, соответствующие этим диагоналям:

• $\vec{AC} = \{a - 0; a - 0; 0 - 0\} = \{a; a; 0\}$
• $\vec{AB_1} = \{a - 0; 0 - 0; a - 0\} = \{a; 0; a\}$

Угол $\theta$ между векторами можно найти через их скалярное произведение по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB_1}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AB_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{AC} \cdot \vec{AB_1} = (a \cdot a) + (a \cdot 0) + (0 \cdot a) = a^2$.

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AC}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
$|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:
$\cos(\theta) = \frac{a^2}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$.

Угол $\theta$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $60^\circ$.