Номер 281, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

281. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ из вершины D₁ проведены диагонали граней D₁A, D₁C и D₁B₁ и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник D₁AB₁C — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Докажите, что многогранник D?AB?C — правильный тетраэдр.

Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники. Это означает, что все шесть его ребер должны быть равны по длине.

Пусть длина ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$. Рассмотрим многогранник $D_1AB_1C$. Его ребрами являются отрезки $D_1A$, $D_1C$, $D_1B_1$, $AC$, $AB_1$ и $CB_1$. Каждое из этих ребер является диагональю одной из граней куба.

Найдем длину диагонали грани куба. Все грани куба являются квадратами со стороной $a$. По теореме Пифагора, длина диагонали $d$ квадрата равна: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

• Ребро $D_1A$ — диагональ грани $ADD_1A_1$.
• Ребро $D_1C$ — диагональ грани $CDD_1C_1$.
• Ребро $D_1B_1$ — диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Ребро $AC$ — диагональ грани $ABCD$.
• Ребро $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$.
• Ребро $CB_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$.

Поскольку все грани куба равны, их диагонали также равны. Таким образом, все шесть ребер многогранника $D_1AB_1C$ имеют одинаковую длину, равную $a\sqrt{2}$.
$D_1A = D_1C = D_1B_1 = AC = AB_1 = CB_1 = a\sqrt{2}$.

Так как все ребра многогранника равны, то его грани (треугольники $\triangle D_1AC$, $\triangle D_1CB_1$, $\triangle D_1AB_1$ и $\triangle ACB_1$) являются равными равносторонними треугольниками. Следовательно, многогранник $D_1AB_1C$ — правильный тетраэдр.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

1. Площадь поверхности куба ($S_{куба}$)
Поверхность куба состоит из 6 граней, каждая из которых является квадратом со стороной $a$. Площадь одного такого квадрата равна $a^2$.
Полная площадь поверхности куба: $S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6a^2$.

2. Площадь поверхности тетраэдра ($S_{тетраэдра}$)
Как мы доказали, тетраэдр $D_1AB_1C$ является правильным. Его поверхность состоит из 4 одинаковых равносторонних треугольников. Длина стороны каждого такого треугольника, как мы выяснили, равна $b = a\sqrt{2}$.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $b$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$.
Подставим в формулу длину стороны нашего треугольника: $S_{\triangle} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Полная площадь поверхности тетраэдра равна сумме площадей четырех его граней: $S_{тетраэдра} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2a^2\sqrt{3}$.

3. Отношение площадей
Теперь найдем отношение площади поверхности куба к площади поверхности тетраэдра:
$\frac{S_{куба}}{S_{тетраэдра}} = \frac{6a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.