Номер 286, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

286. В правильном тетраэдре h — высота, m — ребро, а n — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m.

а)

Пусть дан правильный тетраэдр, у которого длина ребра равна $m$, а высота равна $h$. Высота правильного тетраэдра, опущенная из одной из его вершин, падает в центр противоположной грани (основания). Этот центр является центром описанной окружности для равностороннего треугольника, лежащего в основании.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой тетраэдра $h$, ребром $m$ (в качестве гипотенузы) и радиусом $R$ описанной окружности основания (в качестве второго катета).

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $m$, вычисляется как $R = \frac{m\sqrt{3}}{3}$.

По теореме Пифагора для указанного прямоугольного треугольника имеем:
$m^2 = h^2 + R^2$
Подставим выражение для $R$:
$m^2 = h^2 + \left(\frac{m\sqrt{3}}{3}\right)^2$
$m^2 = h^2 + \frac{m^2 \cdot 3}{9}$
$m^2 = h^2 + \frac{m^2}{3}$

Теперь выразим $m$ через $h$:
$m^2 - \frac{m^2}{3} = h^2$
$\frac{3m^2 - m^2}{3} = h^2$
$\frac{2m^2}{3} = h^2$
$m^2 = \frac{3h^2}{2}$
$m = \sqrt{\frac{3h^2}{2}} = h\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{h\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{h\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $m = \frac{h\sqrt{6}}{2}$.

б)

Пусть $n$ — это расстояние между центрами двух смежных граней правильного тетраэдра. В силу симметрии, это расстояние одинаково для любой пары граней. Найдем расстояние между центром $O_1$ грани ABC и центром $O_2$ грани DBC, где BC — их общее ребро, а $m$ — длина ребра тетраэдра.

Центр грани является точкой пересечения ее медиан. Пусть P — середина общего ребра BC. Тогда AP — медиана треугольника ABC, а DP — медиана треугольника DBC.

По свойству медиан, центр $O_1$ грани ABC лежит на медиане AP и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины A. Это означает, что $PO_1 = \frac{1}{3}AP$.
Аналогично, центр $O_2$ грани DBC лежит на медиане DP и $PO_2 = \frac{1}{3}DP$.

Рассмотрим треугольник APD. Отрезок $O_1O_2$ соединяет точки на его сторонах AP и DP. Поскольку все грани тетраэдра — равные равносторонние треугольники, их медианы также равны: $AP = DP$.

В треугольнике APD мы имеем следующие соотношения на его сторонах:
$\frac{PO_1}{PA} = \frac{1}{3}$ и $\frac{PO_2}{PD} = \frac{1}{3}$.
Так как $\frac{PO_1}{PA} = \frac{PO_2}{PD}$, то по теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), треугольник $PO_1O_2$ подобен треугольнику PAD.

Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{3}$:
$\frac{O_1O_2}{AD} = \frac{PO_1}{PA} = \frac{1}{3}$.

Сторона AD является ребром тетраэдра, ее длина равна $m$. Искомое расстояние $n$ равно длине отрезка $O_1O_2$.
$n = O_1O_2 = \frac{1}{3}AD = \frac{m}{3}$.

Ответ: $n = \frac{m}{3}$.