Номер 282, страница 85 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

282. Найдите угол между двумя рёбрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 89).

Правильный октаэдр — это многогранник, все восемь граней которого являются равносторонними треугольниками. В каждой вершине октаэдра сходятся четыре ребра и четыре грани.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом. Пусть длина ребра правильного октаэдра равна $a$.

Выберем любую вершину октаэдра, обозначим ее $S$. Из этой вершины выходят четыре ребра. Обозначим концы этих ребер, не совпадающие с $S$, как $A, B, C, D$. Таким образом, мы имеем четыре ребра $SA, SB, SC, SD$, и длина каждого из них равна $a$.

Вершины $A, B, C, D$ лежат в одной плоскости и образуют квадрат, поскольку они равноудалены от вершины $S$ и от противоположной ей вершины $S'$. Стороны этого квадрата ($AB, BC, CD, DA$) также являются ребрами октаэдра и, следовательно, их длина равна $a$. Грани октаэдра, имеющие общую вершину $S$, — это равносторонние треугольники $\triangle SAB, \triangle SBC, \triangle SCD, \triangle SDA$.

Условие задачи требует найти угол между двумя ребрами с общей вершиной $S$, которые не принадлежат одной грани.

• Рассмотрим ребра $SA$ и $SB$. Они имеют общую вершину $S$ и принадлежат одной грани — треугольнику $SAB$. Так как $\triangle SAB$ равносторонний, угол между этими ребрами, $\angle ASB$, равен $60^\circ$. Эти ребра не удовлетворяют второму условию.
• Рассмотрим ребра $SA$ и $SC$. Они имеют общую вершину $S$. Ребро $SA$ принадлежит граням $\triangle SAB$ и $\triangle SDA$. Ребро $SC$ принадлежит граням $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$. У этих пар граней нет общей, поэтому ребра $SA$ и $SC$ не принадлежат одной грани. Эта пара ребер удовлетворяет условиям задачи.

Найдем угол $\alpha = \angle ASC$ между ребрами $SA$ и $SC$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle ASC$. Нам известны длины двух его сторон: $SA = a$ и $SC = a$. Найдем длину третьей стороны $AC$.

Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ (где $\angle B = 90^\circ$):$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$Отсюда длина диагонали $AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь, зная все три стороны треугольника $\triangle ASC$ ($SA=a, SC=a, AC=a\sqrt{2}$), применим к нему теорему косинусов для нахождения угла $\alpha = \angle ASC$:$AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2 \cdot SA \cdot SC \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:$(a\sqrt{2})^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha)$$2a^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(\alpha)$

Вычтем $2a^2$ из обеих частей уравнения:$0 = -2a^2 \cos(\alpha)$

Так как длина ребра $a \neq 0$, то и $2a^2 \neq 0$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы:$\cos(\alpha) = 0$

Единственный угол в треугольнике, косинус которого равен нулю, это $90^\circ$. Таким образом, искомый угол $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.