Номер 12, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы к главе 3. Глава 3. Многогранники - номер 12, страница 86.

12. Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

Да, все грани треугольной пирамиды могут быть прямоугольными треугольниками. Чтобы доказать это, достаточно привести конкретный пример такой пирамиды.

Рассмотрим пирамиду с вершинами A, B, C, D, расположенными в декартовой системе координат следующим образом:

• A = (0; 0; 0)
• C = (c; 0; 0)
• D = (0; d; 0)
• B = (0; d; b)

где $c, d, b$ — произвольные положительные числа. Проверим, являются ли все четыре грани этой пирамиды (ADC, ABC, ADB и BDC) прямоугольными треугольниками.

1. Грань ADC

Вершины: A(0;0;0), D(0;d;0), C(c;0;0).Найдем векторы, выходящие из вершины A:$\vec{AC} = (c-0; 0-0; 0-0) = (c; 0; 0)$$\vec{AD} = (0-0; d-0; 0-0) = (0; d; 0)$Их скалярное произведение:$\vec{AC} \cdot \vec{AD} = c \cdot 0 + 0 \cdot d + 0 \cdot 0 = 0$Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, а значит угол $\angle CAD = 90^\circ$. Следовательно, треугольник ADC является прямоугольным.

2. Грань ABC

Вершины: A(0;0;0), B(0;d;b), C(c;0;0).Найдем векторы, выходящие из вершины A:$\vec{AC} = (c; 0; 0)$$\vec{AB} = (0-0; d-0; b-0) = (0; d; b)$Их скалярное произведение:$\vec{AC} \cdot \vec{AB} = c \cdot 0 + 0 \cdot d + 0 \cdot b = 0$Угол $\angle CAB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

3. Грань ADB

Вершины: A(0;0;0), D(0;d;0), B(0;d;b).Найдем векторы, выходящие из вершины D:$\vec{DA} = (0-0; 0-d; 0-0) = (0; -d; 0)$$\vec{DB} = (0-0; d-d; b-0) = (0; 0; b)$Их скалярное произведение:$\vec{DA} \cdot \vec{DB} = 0 \cdot 0 + (-d) \cdot 0 + 0 \cdot b = 0$Угол $\angle ADB = 90^\circ$. Следовательно, треугольник ADB является прямоугольным.

4. Грань BDC

Вершины: B(0;d;b), D(0;d;0), C(c;0;0).Найдем векторы, выходящие из вершины D:$\vec{DB} = (0; 0; b)$$\vec{DC} = (c-0; 0-d; 0-0) = (c; -d; 0)$Их скалярное произведение:$\vec{DB} \cdot \vec{DC} = 0 \cdot c + 0 \cdot (-d) + b \cdot 0 = 0$Угол $\angle BDC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник BDC является прямоугольным.

Таким образом, мы построили пример треугольной пирамиды, у которой все четыре грани — прямоугольные треугольники.

Ответ: да, могут.