Номер 14, страница 86 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

14. На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания?

Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1$ — верхнее основание. Вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$ расположены соответственно над вершинами $A$, $B$, $C$.

Рассмотрим секущую плоскость, которая проходит через вершину верхнего основания (например, $A_1$) и противолежащую ей сторону нижнего основания ($BC$). Эта плоскость определяется тремя точками $A_1, B, C$ и рассекает призму на два многогранника.

Проанализируем каждый из получившихся многогранников.

1. Первый многогранник

Один из многогранников отсекается от призмы "спереди". Его вершинами являются точки $A, B, C$ из нижнего основания и точка $A_1$ из верхнего. Таким образом, его вершины — это $A, B, C, A_1$.
Этот многогранник имеет 4 грани:

• Основание: $\triangle ABC$ (часть нижнего основания призмы).
• Боковые грани: $\triangle A_1AB$ и $\triangle A_1AC$ (части боковых граней призмы) и $\triangle A_1BC$ (секущая плоскость).

Многогранник с 4 треугольными гранями является тетраэдром, или треугольной пирамидой. В данном случае это пирамида $A_1ABC$ с основанием $ABC$ и вершиной $A_1$.

2. Второй многогранник

Второй многогранник — это оставшаяся часть призмы. Его вершинами являются точки $B, C$ из нижнего основания и $A_1, B_1, C_1$ из верхнего. Таким образом, его вершины — это $A_1, B, C, B_1, C_1$. Всего 5 вершин.
Этот многогранник имеет 5 граней:

• $\triangle A_1B_1C_1$ (верхнее основание призмы).
• $\triangle A_1BC$ (секущая плоскость).
• Четырехугольник $BCC_1B_1$ (боковая грань призмы).
• $\triangle A_1B_1B$ (часть боковой грани $ABB_1A_1$).
• $\triangle A_1C_1C$ (часть боковой грани $ACC_1A_1$).

Многогранник с одной четырехугольной гранью и четырьмя треугольными гранями, сходящимися в одной вершине, является четырехугольной пирамидой. В нашем случае:

• Основанием пирамиды является четырехугольник $BCC_1B_1$ (боковая грань исходной призмы).
• Вершиной пирамиды является точка $A_1$.
• Боковыми гранями являются треугольники $\triangle A_1BC$, $\triangle A_1B_1B$, $\triangle A_1C_1C$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Все они имеют общую вершину $A_1$.

Таким образом, второй многогранник — это четырехугольная пирамида $A_1BCC_1B_1$.

Ответ: Треугольная призма рассекается данной плоскостью на два многогранника: треугольную пирамиду и четырехугольную пирамиду.