Номер 315, страница 88 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

315. Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Для доказательства воспользуемся координатным методом. Разместим центр правильного октаэдра в начале координат $O(0, 0, 0)$. Вершины правильного октаэдра — это выпуклый многогранник с 6 вершинами и 8 треугольными гранями. Расположим его вершины на осях координат на одинаковом расстоянии $a$ от центра. Тогда координаты шести вершин октаэдра будут:

$V_1(a, 0, 0)$, $V_2(-a, 0, 0)$, $V_3(0, a, 0)$, $V_4(0, -a, 0)$, $V_5(0, 0, a)$, $V_6(0, 0, -a)$.

Грани правильного октаэдра являются правильными треугольниками. Центр каждой грани совпадает с ее центроидом (точкой пересечения медиан). Координаты центроида вычисляются как среднее арифметическое координат вершин треугольника.

Рассмотрим, например, грань, образованную вершинами $V_1(a,0,0)$, $V_3(0,a,0)$ и $V_5(0,0,a)$. Координаты ее центра $C_1$ будут:

$C_1 = \left(\frac{a+0+0}{3}, \frac{0+a+0}{3}, \frac{0+0+a}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{a}{3}, \frac{a}{3}\right)$.

Всего у октаэдра 8 граней. Их вершины соответствуют всем возможным комбинациям выбора по одной вершине с положительной или отрицательной полуоси для каждой из трех осей. Таким образом, координаты центров всех 8 граней будут иметь вид $(\pm \frac{a}{3}, \pm \frac{a}{3}, \pm \frac{a}{3})$. Обозначим $b = \frac{a}{3}$. Тогда мы получаем 8 точек-центров с координатами, являющимися всеми возможными комбинациями знаков: $(b, b, b)$, $(b, b, -b)$, $(b, -b, b)$, $(b, -b, -b)$, $(-b, b, b)$, $(-b, b, -b)$, $(-b, -b, b)$, $(-b, -b, -b)$.

Эти 8 точек являются вершинами некоторого многогранника, центрированного в начале координат. Докажем, что этот многогранник является кубом. Для этого покажем, что все его ребра равны, а углы между ребрами, выходящими из одной вершины, — прямые.

Рассмотрим вершину $P_1(b, b, b)$. Смежными с ней будут вершины, отличающиеся от нее только одной координатой: $P_2(b, b, -b)$, $P_3(b, -b, b)$ и $P_4(-b, b, b)$.

Найдем длины ребер, соединяющих $P_1$ с этими вершинами, используя формулу расстояния между двумя точками:

$|P_1P_2| = \sqrt{(b-b)^2 + (b-b)^2 + (b-(-b))^2} = \sqrt{0 + 0 + (2b)^2} = 2b$.

$|P_1P_3| = \sqrt{(b-b)^2 + (b-(-b))^2 + (b-b)^2} = \sqrt{0 + (2b)^2 + 0} = 2b$.

$|P_1P_4| = \sqrt{(b-(-b))^2 + (b-b)^2 + (b-b)^2} = \sqrt{(2b)^2 + 0 + 0} = 2b$.

В силу симметрии, все ребра многогранника имеют одинаковую длину, равную $2b = \frac{2a}{3}$.

Теперь проверим углы между ребрами. Рассмотрим векторы, соответствующие этим ребрам:

$\vec{P_1P_2} = (0, 0, -2b)$

$\vec{P_1P_3} = (0, -2b, 0)$

$\vec{P_1P_4} = (-2b, 0, 0)$

Найдем скалярное произведение пар этих векторов:

$\vec{P_1P_2} \cdot \vec{P_1P_3} = 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-2b) + (-2b) \cdot 0 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{P_1P_2}$ и $\vec{P_1P_3}$ ортогональны, то есть ребра $P_1P_2$ и $P_1P_3$ перпендикулярны. Аналогично, $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{P_1P_4} = 0$ и $\vec{P_1P_3} \cdot \vec{P_1P_4} = 0$, что означает, что все три ребра, сходящиеся в вершине $P_1$, попарно перпендикулярны.

Многогранник с 8 вершинами, у которого все ребра равны, а ребра, сходящиеся в каждой вершине, взаимно перпендикулярны, по определению является кубом. Таким образом, центры граней правильного октаэдра действительно являются вершинами куба.

Ответ: Что и требовалось доказать.