Номер 320, страница 92 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

320. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.

Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра.

Осевое сечение — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через его ось. Ось цилиндра соединяет центры его оснований.
Пусть секущая плоскость $\alpha$ проходит через ось цилиндра.
1. При пересечении плоскости $\alpha$ с основаниями цилиндра (которые являются кругами) получаются диаметры. Обозначим эти диаметры как $AD$ и $BC$. Они являются сторонами нашего сечения. Поскольку основания цилиндра — это равные круги, то их диаметры равны: $AD = BC$.
2. При пересечении плоскости $\alpha$ с боковой поверхностью цилиндра получаются две образующие, которые соединяют концы этих диаметров, в нашем случае — $AB$ и $DC$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны его основаниям, а также параллельны друг другу и равны по длине. Длина каждой образующей равна высоте цилиндра $h$. Таким образом, $AB \parallel DC$ и $AB = DC = h$.
3. Рассмотрим полученный в сечении четырехугольник $ABCD$. Так как его противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, то по признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.
4. Поскольку образующая $AB$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$, в частности, диаметру $BC$. Следовательно, угол $\angle ABC = 90^\circ$.
5. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.
Таким образом, доказано, что осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, две противоположные стороны которого ($AB$ и $DC$) являются образующими, а две другие ($AD$ и $BC$) — диаметрами оснований.
Ответ: Утверждение доказано.

Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.

Из первой части задачи мы знаем, что осевое сечение представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.
Дано по условию:
Высота цилиндра $h = 4$ м.
Радиус основания $r = 1,5$ м.
Сначала найдем диаметр основания цилиндра:
$d = 2r = 2 \cdot 1,5 = 3$ м.
Диагональ осевого сечения ($D$) является диагональю этого прямоугольника. Мы можем найти ее по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, где катетами являются стороны прямоугольника ($h$ и $d$), а гипотенузой — его диагональ ($D$).
$D^2 = h^2 + d^2$
Подставим известные значения в формулу:
$D^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали:
$D = \sqrt{25} = 5$ м.
Ответ: 5 м.