Страница 92 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

320. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.

Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра.

Осевое сечение — это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через его ось. Ось цилиндра соединяет центры его оснований.
Пусть секущая плоскость $\alpha$ проходит через ось цилиндра.
1. При пересечении плоскости $\alpha$ с основаниями цилиндра (которые являются кругами) получаются диаметры. Обозначим эти диаметры как $AD$ и $BC$. Они являются сторонами нашего сечения. Поскольку основания цилиндра — это равные круги, то их диаметры равны: $AD = BC$.
2. При пересечении плоскости $\alpha$ с боковой поверхностью цилиндра получаются две образующие, которые соединяют концы этих диаметров, в нашем случае — $AB$ и $DC$. Образующие прямого цилиндра перпендикулярны его основаниям, а также параллельны друг другу и равны по длине. Длина каждой образующей равна высоте цилиндра $h$. Таким образом, $AB \parallel DC$ и $AB = DC = h$.
3. Рассмотрим полученный в сечении четырехугольник $ABCD$. Так как его противоположные стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, то по признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.
4. Поскольку образующая $AB$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $B$, в частности, диаметру $BC$. Следовательно, угол $\angle ABC = 90^\circ$.
5. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником.
Таким образом, доказано, что осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, две противоположные стороны которого ($AB$ и $DC$) являются образующими, а две другие ($AD$ и $BC$) — диаметрами оснований.
Ответ: Утверждение доказано.

Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.

Из первой части задачи мы знаем, что осевое сечение представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.
Дано по условию:
Высота цилиндра $h = 4$ м.
Радиус основания $r = 1,5$ м.
Сначала найдем диаметр основания цилиндра:
$d = 2r = 2 \cdot 1,5 = 3$ м.
Диагональ осевого сечения ($D$) является диагональю этого прямоугольника. Мы можем найти ее по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, где катетами являются стороны прямоугольника ($h$ и $d$), а гипотенузой — его диагональ ($D$).
$D^2 = h^2 + d^2$
Подставим известные значения в формулу:
$D^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти длину диагонали:
$D = \sqrt{25} = 5$ м.
Ответ: 5 м.

321. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника является диагональю осевого сечения, и по условию она равна $d = 48$ см. Образующая цилиндра по длине равна его высоте $h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота $h$ (катет), диаметр основания $D$ (второй катет) и диагональ осевого сечения $d$ (гипотенуза). Угол между диагональю $d$ и образующей $h$ по условию равен $60^\circ$.

а) высоту цилиндра

Высота цилиндра $h$ в этом треугольнике является катетом, прилежащим к углу $60^\circ$. Мы можем найти её через косинус этого угла:

$\cos(60^\circ) = \frac{h}{d}$

Отсюда выражаем высоту $h$:

$h = d \cdot \cos(60^\circ) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 24 см.

б) радиус цилиндра

Сначала найдем диаметр основания $D$. В том же прямоугольном треугольнике диаметр $D$ является катетом, противолежащим углу $60^\circ$. Найдем его через синус:

$\sin(60^\circ) = \frac{D}{d}$

Отсюда выражаем диаметр $D$:

$D = d \cdot \sin(60^\circ) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см.

Радиус цилиндра $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус цилиндра равен $12\sqrt{3}$ см.

в) площадь основания цилиндра

Основание цилиндра — это круг. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r = 12\sqrt{3}$ см:

$S = \pi \cdot (12\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (12^2 \cdot (\sqrt{3})^2) = \pi \cdot (144 \cdot 3) = 432\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь основания цилиндра равна $432\pi$ см$^2$.

322. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются высота цилиндра $H$ и диаметр его основания $D$. По условию задачи, это сечение — квадрат, следовательно, его стороны равны, то есть $H = D$.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $H = D = a$. Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Из условия известно, что диагональ $d = 20$ см. Найдем сторону квадрата $a$:
$2a^2 = 20^2$
$2a^2 = 400$
$a^2 = 200$
$a = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$ см.

а) Высота цилиндра $H$ равна стороне квадрата $a$.
Следовательно, $H = a = 10\sqrt{2}$ см.
Ответ: высота цилиндра равна $10\sqrt{2}$ см.

б) Площадь основания цилиндра $S_{осн}$ находится по формуле площади круга: $S_{осн} = \pi R^2$, где $R$ – радиус основания.
Диаметр основания $D$ равен стороне квадрата $a$, значит $D = 10\sqrt{2}$ см.
Радиус основания $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.
Теперь найдем площадь основания:
$S_{осн} = \pi (5\sqrt{2})^2 = \pi \cdot (25 \cdot 2) = 50\pi$ см².
Ответ: площадь основания цилиндра равна $50\pi$ см².

323. Осевые сечения двух цилиндров равны. Верно ли, что высоты двух цилиндров равны, если равны их осевые сечения?

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проходящее через его ось. Такое сечение всегда имеет форму прямоугольника. Сторонами этого прямоугольника являются высота цилиндра ($h$) и диаметр его основания ($d = 2r$, где $r$ — радиус основания).

Условие, что осевые сечения двух цилиндров равны, означает, что прямоугольники, являющиеся этими сечениями, равны (конгруэнтны).

Рассмотрим два цилиндра.

• Первый цилиндр: высота $h_1$, радиус основания $r_1$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами $h_1$ и $2r_1$.
• Второй цилиндр: высота $h_2$, радиус основания $r_2$. Его осевое сечение — прямоугольник со сторонами $h_2$ и $2r_2$.

Два прямоугольника равны, если их смежные стороны соответственно равны. Это означает, что возможны два случая:

1. $h_1 = h_2$ и $2r_1 = 2r_2$. В этом случае высоты цилиндров равны (и сами цилиндры равны).
2. $h_1 = 2r_2$ и $2r_1 = h_2$. В этом случае высота первого цилиндра равна диаметру второго, а диаметр первого — высоте второго.

Вопрос в задаче — верно ли, что высоты двух цилиндров всегда равны при равенстве их осевых сечений. Второй случай показывает, что это не так. Высоты могут быть разными.

Чтобы доказать это, приведем контрпример.

Пусть у первого цилиндра высота $h_1 = 10$ см, а радиус основания $r_1 = 4$ см. Тогда его осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 10 см и $2 \cdot 4 = 8$ см.

Возьмем второй цилиндр, у которого высота $h_2 = 8$ см, а диаметр основания $2r_2 = 10$ см (то есть радиус $r_2 = 5$ см). Его осевое сечение — это прямоугольник со сторонами 8 см и 10 см.

Прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см равен прямоугольнику со сторонами 8 см и 10 см. Следовательно, осевые сечения данных цилиндров равны. Однако их высоты не равны: $h_1 = 10$ см, а $h_2 = 8$ см.

Таким образом, утверждение, что высоты двух цилиндров равны, если равны их осевые сечения, является неверным.

Ответ: Нет, не верно.

324. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м², а площадь основания равна 5 м². Найдите высоту цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $R$, а его высоту как $h$.

Площадь основания цилиндра, которое представляет собой круг, вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Согласно условию задачи, площадь основания равна 5 м?, следовательно, мы имеем первое уравнение:

$\pi R^2 = 5$

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра $D = 2R$, а другая — его высоте $h$. Площадь осевого сечения вычисляется по формуле $S_{сеч} = D \cdot h = 2R \cdot h$. По условию, эта площадь равна 10 м?, что дает нам второе уравнение:

$2Rh = 10$

Из второго уравнения можно выразить произведение $Rh$, разделив обе части на 2:

$Rh = 5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $\pi R^2 = 5$

2) $Rh = 5$

Из второго уравнения выразим радиус $R$ через высоту $h$:

$R = \frac{5}{h}$

Подставим это выражение для $R$ в первое уравнение:

$\pi \left(\frac{5}{h}\right)^2 = 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $h$:

$\pi \frac{25}{h^2} = 5$

Чтобы найти $h^2$, выразим его из уравнения:

$h^2 = \frac{25\pi}{5}$

$h^2 = 5\pi$

Поскольку высота является положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$h = \sqrt{5\pi}$

Таким образом, высота цилиндра равна $\sqrt{5\pi}$ метров.

Ответ: $h = \sqrt{5\pi}$ м.

325. Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как 3π : 4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Площадь основания цилиндра, $S_{осн}$, вычисляется по формуле площади круга: $S_{осн} = \pi r^2$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами, равными диаметру основания ($d = 2r$) и высоте цилиндра ($h$). Площадь осевого сечения, $S_{сеч}$, равна: $S_{сеч} = d \cdot h = 2rh$.

По условию задачи, отношение площади основания к площади осевого сечения равно $\sqrt{3}\pi : 4$: $\frac{S_{осн}}{S_{сеч}} = \frac{\pi r^2}{2rh} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4}$.

Упростим это выражение, чтобы найти соотношение между высотой и радиусом. Сократим $\pi$ и $r$ в левой части: $\frac{r}{2h} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Из этого равенства найдем отношение высоты $h$ к диаметру $2r$. Умножим обе части на 2: $\frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тогда отношение высоты к диаметру будет: $\frac{h}{2r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{r} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

а) Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания — это угол $\alpha$ между диагональю прямоугольника сечения и его стороной, которая является диаметром основания ($2r$). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю сечения (гипотенуза), высотой цилиндра $h$ (катет, противолежащий искомому углу $\alpha$) и диаметром основания $2r$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$).

Тангенс этого угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan(\alpha) = \frac{h}{2r}$.

Как мы нашли ранее, $\frac{h}{2r} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно, $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

б) Угол между диагоналями осевого сечения. Осевое сечение — это прямоугольник со сторонами $h$ и $2r$. Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам.

Пусть $\beta$ — искомый угол между диагоналями. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника $h$. Угол при вершине этого треугольника (в точке пересечения диагоналей) является одним из углов между диагоналями. Опустим из этой вершины высоту на сторону $h$. Эта высота будет равна половине другой стороны прямоугольника, то есть $r$.

Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник. Его катеты равны $r$ и $\frac{h}{2}$. Угол, противолежащий катету $r$, равен $\frac{\beta}{2}$. Тангенс этого угла: $\tan(\frac{\beta}{2}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{r}{h/2} = \frac{2r}{h}$.

Из соотношения $\frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ следует, что $\frac{2r}{h} = \sqrt{3}$. Итак, $\tan(\frac{\beta}{2}) = \sqrt{3}$.

Это означает, что $\frac{\beta}{2} = 60^\circ$, и, следовательно, $\beta = 120^\circ$.

Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Один угол равен $120^\circ$ (тупой), а смежный с ним — $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (острый). Обычно под углом между прямыми понимают острый угол.

Ответ: $60^\circ$.

326. Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой AB и осью цилиндра равно d. Найдите: a) h, если r = 10 дм, d = 8 дм, AB = 13 дм; б) d, если h = 6 см, r = 5 см, AB = 10 см.

Для решения задачи рассмотрим вспомогательную конструкцию. Пусть $A_1$ — это проекция точки $A$ на плоскость нижнего основания цилиндра. Поскольку точка $A$ лежит на окружности верхнего основания, ее проекция $A_1$ будет лежать на окружности нижнего основания. Отрезок $A_1B$ является проекцией отрезка $AB$ на плоскость основания.

Рассмотрим треугольник $AA_1B$. Так как $AA_1$ — это перпендикуляр к плоскости основания (его длина равна высоте цилиндра $h$), то треугольник $AA_1B$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A_1$. По теореме Пифагора имеем:

$AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2 = h^2 + A_1B^2$

Теперь рассмотрим нижнее основание цилиндра. Это круг радиуса $r$. Отрезок $A_1B$ является хордой в этом круге. Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми — прямой $AB$ и осью цилиндра — равно расстоянию от центра окружности основания до хорды $A_1B$.

Рассмотрим треугольник, образованный центром окружности $O_1$, точкой $B$ на окружности и серединой $K$ хорды $A_1B$. Треугольник $O_1KB$ является прямоугольным (так как радиус, проведенный в середину хорды, перпендикулярен ей). В этом треугольнике:

• гипотенуза $O_1B$ — это радиус $r$;
• катет $O_1K$ — это расстояние $d$;
• катет $KB$ — это половина хорды $A_1B$, то есть $\frac{A_1B}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1KB$:

$O_1B^2 = O_1K^2 + KB^2$

$r^2 = d^2 + \left(\frac{A_1B}{2}\right)^2$

Из этого соотношения выразим квадрат длины хорды $A_1B$:

$\frac{A_1B^2}{4} = r^2 - d^2 \implies A_1B^2 = 4(r^2 - d^2)$

Подставим полученное выражение для $A_1B^2$ в самую первую формулу:

$AB^2 = h^2 + 4(r^2 - d^2)$

Это основная формула, которая связывает все параметры задачи. Используем ее для решения подпунктов.

а)

Дано: $r = 10$ дм, $d = 8$ дм, $AB = 13$ дм. Необходимо найти высоту $h$.

Подставим известные значения в выведенную формулу:

$13^2 = h^2 + 4(10^2 - 8^2)$

Выполним вычисления:

$169 = h^2 + 4(100 - 64)$

$169 = h^2 + 4(36)$

$169 = h^2 + 144$

Отсюда находим $h^2$:

$h^2 = 169 - 144 = 25$

Так как высота является положительной величиной, $h = \sqrt{25} = 5$ дм.

Ответ: 5 дм.

б)

Дано: $h = 6$ см, $r = 5$ см, $AB = 10$ см. Необходимо найти расстояние $d$.

Подставим известные значения в ту же формулу:

$10^2 = 6^2 + 4(5^2 - d^2)$

Выполним вычисления:

$100 = 36 + 4(25 - d^2)$

Перенесем 36 в левую часть:

$100 - 36 = 4(25 - d^2)$

$64 = 4(25 - d^2)$

Разделим обе части уравнения на 4:

$16 = 25 - d^2$

Отсюда находим $d^2$:

$d^2 = 25 - 16 = 9$

Так как расстояние является положительной величиной, $d = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

327. Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие цилиндра.

Пусть дан цилиндр с осью $OO'$, радиусом основания $R$ и высотой $H$. Пусть секущая плоскость $\alpha$ параллельна оси цилиндра $OO'$ и расстояние $d$ от плоскости до оси меньше радиуса, то есть $d < R$.

1. Определим линии пересечения.
Поскольку расстояние $d$ от плоскости $\alpha$ до оси $OO'$ меньше радиуса $R$, плоскость $\alpha$ пересекает оба основания цилиндра. Линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью нижнего основания представляет собой хорду, обозначим ее $AB$. Аналогично, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью верхнего основания — это хорда $A'B'$.

Плоскость $\alpha$ также пересекает боковую поверхность цилиндра. Боковая поверхность цилиндра состоит из множества отрезков, называемых образующими, которые параллельны оси $OO'$ и соединяют соответствующие точки на окружностях оснований. Так как плоскость $\alpha$ параллельна оси $OO'$, линии пересечения плоскости $\alpha$ с боковой поверхностью будут параллельны оси $OO'$. Этими линиями являются отрезки, соединяющие концы хорд $AB$ и $A'B'$. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $AA'B'B$, где $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, а $A'$ и $B'$ — на окружности верхнего.

2. Докажем, что стороны $AA'$ и $BB'$ являются образующими.
Отрезки $AA'$ и $BB'$ соединяют точки на окружностях нижнего и верхнего оснований. Как было показано выше, эти отрезки лежат в плоскости $\alpha$, которая параллельна оси цилиндра $OO'$. Следовательно, отрезки $AA'$ и $BB'$ параллельны оси $OO'$. Отрезки, соединяющие окружности оснований и параллельные оси цилиндра, по определению являются его образующими. Значит, две противоположные стороны сечения $AA'$ и $BB'$ — образующие цилиндра.

3. Докажем, что сечение является прямоугольником.
Рассмотрим четырехугольник $AA'B'B$.
Мы установили, что стороны $AA'$ и $BB'$ являются образующими цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны друг другу и равны по длине (их длина равна высоте цилиндра $H$).
Следовательно, $AA' \parallel BB'$ и $AA' = BB' = H$.
По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит, $AA'B'B$ — параллелограмм.

Теперь докажем, что это прямоугольник. По определению прямого кругового цилиндра, его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. Значит, образующая $AA'$ перпендикулярна плоскости нижнего основания.
Так как $AA'$ перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Хорда $AB$ лежит в плоскости нижнего основания и проходит через точку $A$. Следовательно, $AA' \perp AB$.
Это означает, что угол $\angle BAA'$ в параллелограмме $AA'B'B$ прямой ($\angle BAA' = 90^\circ$).

Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси и находящейся на расстоянии, меньшем радиуса, представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого являются образующими цилиндра.

Ответ: Что и требовалось доказать.

328. Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а вторая сторона, обозначим ее $a$, является хордой окружности основания цилиндра.

По условию задачи даны:
высота цилиндра $h = 8$ см;
радиус основания $R = 5$ см;
расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости $d = 3$ см.

Для того чтобы найти площадь сечения, сначала необходимо определить длину хорды $a$. Рассмотрим основание цилиндра в виде окружности. Расстояние от центра окружности до хорды ($d$), радиус, проведенный к одному из концов хорды ($R$), и половина длины хорды ($a/2$) образуют прямоугольный треугольник.

В этом треугольнике:
- гипотенуза равна радиусу $R = 5$ см;
- один катет равен расстоянию $d = 3$ см;
- второй катет равен половине хорды $a/2$.

По теореме Пифагора найдем половину длины хорды:
$(a/2)^2 + d^2 = R^2$
$(a/2)^2 = R^2 - d^2$
$(a/2)^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
$a/2 = \sqrt{16} = 4$ см.

Следовательно, полная длина хорды $a$ равна $2 \times 4 = 8$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ прямоугольного сечения, зная обе его стороны ($a$ и $h$):
$S = a \times h$
$S = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^2$.

Ответ: $64 \text{ см}^2$.