Страница 99 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

356. Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Пусть дан конус с вершиной в точке $V$ и осью $VO$. Пусть две секущие плоскости, назовем их $\alpha_1$ и $\alpha_2$, перпендикулярны оси $VO$. Плоскость $\alpha_1$ пересекает ось конуса в точке $O_1$, а плоскость $\alpha_2$ — в точке $O_2$. Расстояние от вершины конуса до плоскости $\alpha_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $V$ на плоскость $\alpha_1$. Так как ось $VO$ перпендикулярна плоскости $\alpha_1$, это расстояние равно длине отрезка $VO_1$. Обозначим его $h_1 = VO_1$. Аналогично, расстояние от вершины до плоскости $\alpha_2$ равно $h_2 = VO_2$.

Так как секущие плоскости перпендикулярны оси конуса, то сечениями являются круги.

• Сечение плоскостью $\alpha_1$ — это круг с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_1$. Площадь этого сечения $S_1 = \pi r_1^2$.
• Сечение плоскостью $\alpha_2$ — это круг с центром в точке $O_2$ и радиусом $r_2$. Площадь этого сечения $S_2 = \pi r_2^2$.

Требуется доказать, что отношение площадей сечений равно отношению квадратов расстояний от вершины до плоскостей, то есть $\frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1^2}{h_2^2}$.

Для доказательства рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть $VP$ — одна из образующих конуса, лежащая в плоскости осевого сечения. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на высоте (и оси) $VO$ этого треугольника.

В плоскости осевого сечения мы получаем два прямоугольных треугольника: $\triangle VO_1P_1$ и $\triangle VO_2P_2$, где $P_1$ и $P_2$ — точки на окружностях сечений, лежащие на одной образующей $VP$. Катеты $O_1P_1$ и $O_2P_2$ являются радиусами $r_1$ и $r_2$ соответствующих сечений.

Треугольники $\triangle VO_1P_1$ и $\triangle VO_2P_2$ подобны по двум углам:

1. $\angle VO_1P_1 = \angle VO_2P_2 = 90^\circ$, так как плоскости сечений перпендикулярны оси $VO$.
2. $\angle O_1VP_1$ (или $\angle P_1VO_1$) — общий для обоих треугольников.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{VO_1}{VO_2} = \frac{O_1P_1}{O_2P_2} $$ Подставляя введенные обозначения, получаем: $$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{r_1}{r_2} $$

Теперь найдем отношение площадей сечений $S_1$ и $S_2$: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 $$

Используя полученное ранее соотношение для радиусов, заменим $\frac{r_1}{r_2}$ на $\frac{h_1}{h_2}$: $$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 = \frac{h_1^2}{h_2^2} $$ Таким образом, доказано, что площади сечений конуса плоскостями, перпендикулярными его оси, относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение площадей сечений конуса плоскостями, перпендикулярными его оси, равно отношению квадратов расстояний от вершины конуса до этих плоскостей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1^2}{h_2^2}$.

357. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой α. Найдите α, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $(l)$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса. По условию, высота конуса $h = 4$ см и радиус основания $r = 3$ см. Необходимо найти угол этого сектора $\alpha$.

Сначала найдём длину образующей конуса $l$. Образующая, высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $l$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Угол сектора развёртки $\alpha$ связан с радиусом основания $r$ и образующей $l$ следующим соотношением: отношение угла сектора к полному углу $360^\circ$ равно отношению радиуса основания к образующей.

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{r}{l}$

Из этой формулы выразим искомый угол $\alpha$ и подставим известные значения:

$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ = \frac{3}{5} \cdot 360^\circ = 216^\circ$.

Ответ: $216^\circ$.

358. Найдите дугу сектора, представляющего собой развёртку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Пусть $l$ — образующая конуса, $r$ — радиус его основания, а $h$ — высота. Образующая $l$, радиус $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $l$ является гипотенузой, а $r$ и $h$ — катетами.

По условию, угол между образующей и плоскостью основания равен $60^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике это угол между гипотенузой $l$ и катетом $r$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:$ \cos(60^\circ) = \frac{r}{l} $

Поскольку $ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем соотношение между радиусом основания и образующей:$ \frac{r}{l} = \frac{1}{2} $

Развёртка боковой поверхности конуса представляет собой сектор круга. Радиус этого сектора равен образующей конуса $l$, а длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле:$ C = 2\pi r $

Длина дуги сектора с углом $\alpha$ (в градусах) и радиусом $l$ вычисляется по формуле:$ L_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l $

Так как длина дуги сектора равна длине окружности основания ($L_{дуги} = C$), мы можем приравнять эти два выражения:$ \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi l = 2\pi r $

Сократим обе части уравнения на $2\pi$:$ \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot l = r $

Отсюда можно выразить искомый угол $\alpha$:$ \alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ $

Ранее мы нашли, что $ \frac{r}{l} = \frac{1}{2} $. Подставим это значение в формулу для $\alpha$:$ \alpha = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ $

Ответ: $180^\circ$.

359. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Для решения задачи найдем общую формулу, связывающую угол развертки боковой поверхности конуса и угол при вершине его осевого сечения.

Пусть $l$ — образующая конуса, $r$ — радиус его основания, $\alpha$ — искомый угол при вершине осевого сечения, а $\beta$ — угол дуги сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса.

При развертывании боковой поверхности конуса в сектор, радиус этого сектора будет равен образующей конуса $l$. Длина дуги этого сектора $L_{дуги}$ вычисляется по формуле: $L_{дуги} = \frac{\beta}{360^{\circ}} \cdot 2\pi l$.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C_{осн}$, которая вычисляется по формуле: $C_{осн} = 2\pi r$.

Приравнивая эти два выражения, получаем: $2\pi r = \frac{\beta}{360^{\circ}} \cdot 2\pi l$.

Отсюда находим отношение радиуса основания к образующей: $\frac{r}{l} = \frac{\beta}{360^{\circ}}$.

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей $l$, а основание равно диаметру основания конуса $2r$. Угол при вершине этого треугольника равен $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей. В этом треугольнике гипотенуза равна $l$, катет, противолежащий углу $\frac{\alpha}{2}$, равен $r$. Синус этого угла равен: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{r}{l}$.

Объединяя полученные равенства, мы получаем общую формулу для решения задачи: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\beta}{360^{\circ}}$.

Теперь решим задачу для каждого из заданных случаев.

Угол дуги сектора $\beta = 180^{\circ}$. Подставим это значение в нашу формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

Из этого следует, что $\frac{\alpha}{2} = 30^{\circ}$, так как угол $\frac{\alpha}{2}$ в прямоугольном треугольнике является острым.

Тогда искомый угол $\alpha = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.

Угол дуги сектора $\beta = 90^{\circ}$. Подставим это значение в формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4}$.

Отсюда $\frac{\alpha}{2} = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Тогда искомый угол $\alpha = 2\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Ответ: $2\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Угол дуги сектора $\beta = 60^{\circ}$. Подставим это значение в формулу: $\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}$.

Отсюда $\frac{\alpha}{2} = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

Тогда искомый угол $\alpha = 2\arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

Ответ: $2\arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$.

360. Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора является образующей конуса ($L$), а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. По условию даны образующая конуса $L = 9$ см (как радиус сектора) и центральный угол сектора $\alpha = 120°$.

Для вычисления площади основания и высоты нам сначала нужно найти радиус основания конуса ($r$).
Длина дуги сектора ($C_{дуги}$) вычисляется по формуле: $C_{дуги} = \frac{\pi L \alpha}{180°}$.
$C_{дуги} = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 120}{180} = \frac{1080\pi}{180} = 6\pi$ см.
Эта длина равна длине окружности основания конуса ($C_{осн} = 2\pi r$). Приравняем их:
$2\pi r = 6\pi$
$r = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$ см.
Теперь мы можем найти искомые величины.

Площадь основания

Основание конуса — это круг, площадь которого ($S_{осн}$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.
Подставим найденное значение радиуса $r=3$ см:
$S_{осн} = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см?.
Ответ: площадь основания конуса равна $9\pi$ см?.

Высота конуса

Высота конуса ($H$), радиус его основания ($r$) и образующая ($L$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + r^2$
Отсюда выразим высоту $H$:
$H^2 = L^2 - r^2$
$H = \sqrt{L^2 - r^2}$
Подставим известные значения $L=9$ см и $r=3$ см:
$H = \sqrt{9^2 - 3^2} = \sqrt{81 - 9} = \sqrt{72}$
Упростим корень:
$H = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.
Ответ: высота конуса равна $6\sqrt{2}$ см.

361. Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности конуса используется формула $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ – радиус основания конуса, а $l$ – длина его образующей.

По условию задачи, длина образующей $l = 6,5$ см. Угол между образующей и осью конуса (которая также является высотой $h$) равен $45^\circ$. Ось конуса, его образующая и радиус основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике образующая $l$ является гипотенузой, а радиус $r$ и высота $h$ – катетами. Угол между образующей $l$ и осью $h$ составляет $45^\circ$.

Для нахождения радиуса $r$, который является катетом, противолежащим углу $45^\circ$, воспользуемся тригонометрическим соотношением: $\sin(\alpha) = \frac{r}{l}$

Выразим и вычислим радиус $r$: $r = l \cdot \sin(45^\circ) = 6,5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3,25\sqrt{2}$ см.

Теперь подставим найденное значение радиуса $r$ и данное значение образующей $l$ в формулу площади боковой поверхности: $S_{бок} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot (3,25\sqrt{2}) \cdot 6,5$

Выполним вычисления: $S_{бок} = \pi \cdot (3,25 \cdot 6,5) \cdot \sqrt{2} = \pi \cdot 21,125 \cdot \sqrt{2} = 21,125\sqrt{2}\pi$ см².

Ответ: $21,125\sqrt{2}\pi$ см².

362. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см². Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{полн} = \pi R (R + l)$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

1. Найдем радиус основания конуса (R).

Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру основания конуса ($2R$), а его высота — это высота конуса ($h$). Площадь осевого сечения ($S_{сеч}$) вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot h = R \cdot h$.

По условию задачи, $S_{сеч} = 0,6 \text{ см}^2$ и $h = 1,2 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $R$:

$0,6 = R \cdot 1,2$

$R = \frac{0,6}{1,2} = 0,5 \text{ см}$.

2. Найдем длину образующей конуса (l).

Образующая ($l$), высота ($h$) и радиус основания ($R$) конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора:

$l^2 = R^2 + h^2$

Подставим известные значения $R = 0,5 \text{ см}$ и $h = 1,2 \text{ см}$:

$l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{(0,5)^2 + (1,2)^2} = \sqrt{0,25 + 1,44} = \sqrt{1,69} = 1,3 \text{ см}$.

3. Вычислим площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$).

Теперь, зная радиус $R = 0,5 \text{ см}$ и образующую $l = 1,3 \text{ см}$, мы можем рассчитать площадь полной поверхности по формуле:

$S_{полн} = \pi R (R + l)$

Подставим найденные значения:

$S_{полн} = \pi \cdot 0,5 \cdot (0,5 + 1,3) = \pi \cdot 0,5 \cdot 1,8 = 0,9\pi \text{ см}^2$.

Ответ: площадь полной поверхности конуса равна $0,9\pi \text{ см}^2$.

363. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом φ. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен α. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Площадь полной поверхности конуса ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R + L)$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить $R$ и $L$ через известные величины.

1. Начнем с нахождения радиуса основания конуса $R$. В основании конуса лежит круг, который является описанной окружностью для вписанного в него треугольника. По условию, у треугольника есть сторона, равная $a$, и противолежащий ей угол, равный $\alpha$. Согласно обобщенной теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$):$$ \frac{a}{\sin\alpha} = 2R $$Из этого соотношения выражаем радиус основания конуса:$$ R = \frac{a}{2 \sin\alpha} $$

2. Далее найдем длину образующей конуса $L$. Образующая конуса $L$ наклонена к плоскости основания под углом $\phi$. Этот угол является углом между образующей $L$ и радиусом основания $R$ в прямоугольном треугольнике, который образован высотой конуса $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $R$ — прилежащим катетом к углу $\phi$. Таким образом, мы можем записать тригонометрическое соотношение:$$ \cos\phi = \frac{R}{L} $$Отсюда выразим образующую $L$:$$ L = \frac{R}{\cos\phi} $$Подставив найденное ранее выражение для $R$, получаем:$$ L = \frac{a}{2 \sin\alpha \cos\phi} $$

3. Теперь, имея выражения для $R$ и $L$, подставим их в формулу площади полной поверхности конуса:$$ S_{полн} = \pi R (R + L) $$Подставим выражение для $L$ через $R$:$$ S_{полн} = \pi R \left(R + \frac{R}{\cos\phi}\right) = \pi R^2 \left(1 + \frac{1}{\cos\phi}\right) = \pi R^2 \frac{1 + \cos\phi}{\cos\phi} $$Теперь подставим известное выражение для $R^2$. Так как $R = \frac{a}{2 \sin\alpha}$, то $R^2 = \frac{a^2}{4 \sin^2\alpha}$.$$ S_{полн} = \pi \cdot \frac{a^2}{4 \sin^2\alpha} \cdot \frac{1 + \cos\phi}{\cos\phi} $$После перегруппировки членов получаем окончательную формулу.

Ответ: $S_{полн} = \frac{\pi a^2 (1 + \cos\phi)}{4 \sin^2\alpha \cos\phi}$

364. Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Согласно условию задачи, вращение происходит вокруг меньшего катета.

Параметры исходного треугольника:

Меньший катет: 6 см

Больший катет: 8 см

При вращении вокруг меньшего катета, он становится высотой конуса ($h$), а больший катет — радиусом основания конуса ($r$). Гипотенуза треугольника становится образующей конуса ($l$).

Таким образом, мы имеем конус со следующими параметрами:

Высота $h = 6$ см.

Радиус основания $r = 8$ см.

Для вычисления площадей нам понадобится найти длину образующей конуса $l$. Найдем ее по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой исходного прямоугольного треугольника:

$l^2 = h^2 + r^2$

$l^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$l = \sqrt{100} = 10$ см.

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставим известные значения радиуса $r = 8$ см и образующей $l = 10$ см:

$S_{бок} = \pi \cdot 8 \cdot 10 = 80\pi$ см?.

Ответ: $80\pi$ см?.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса — это сумма площади боковой поверхности и площади основания конуса ($S_{осн}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн}$

Сначала найдем площадь основания. Основание конуса — это круг с радиусом $r = 8$ см. Его площадь вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{осн} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см?.

Теперь сложим площадь боковой поверхности и площадь основания:

$S_{полн} = 80\pi + 64\pi = 144\pi$ см?.

Также можно воспользоваться общей формулой для площади полной поверхности конуса $S_{полн} = \pi r (l + r)$:

$S_{полн} = \pi \cdot 8 \cdot (10 + 8) = 8\pi \cdot 18 = 144\pi$ см?.

Ответ: $144\pi$ см?.

365. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна m, а угол при основании равен φ, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника.

При вращении равнобедренного треугольника вокруг его основания образуется тело вращения, которое состоит из двух одинаковых конусов, соединенных своими основаниями. Площадь поверхности этого тела равна сумме площадей боковых поверхностей этих двух конусов.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $L$ — длина его образующей.

В данном случае, образующая конуса $L$ равна боковой стороне треугольника, то есть $L = m$. Радиус основания конусов $R$ равен высоте треугольника, опущенной из вершины на основание. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой, боковой стороной (которая является гипотенузой) и половиной основания. Угол между боковой стороной и основанием равен $\phi$. Высота $R$ является катетом, противолежащим этому углу.

Используя определение синуса в прямоугольном треугольнике, находим радиус $R$:
$\sin\phi = \frac{R}{m}$
Следовательно, $R = m \sin\phi$.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности одного конуса:
$S_{бок} = \pi R L = \pi (m \sin\phi) \cdot m = \pi m^2 \sin\phi$.

Так как тело состоит из двух таких конусов, общая площадь его поверхности $S$ будет равна удвоенной площади боковой поверхности одного конуса:
$S = 2 \cdot S_{бок} = 2\pi m^2 \sin\phi$.

Ответ: $2\pi m^2 \sin\phi$

366. Найдите образующую усечённого конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Обозначим радиус большего основания усеченного конуса как $R$, радиус меньшего основания как $r$, высоту как $h$ и образующую как $l$.
Согласно условию задачи, имеем следующие данные:
$R = 6$ см
$r = 3$ см
$h = 4$ см

Для нахождения длины образующей $l$ можно рассмотреть осевое сечение усеченного конуса. Такое сечение представляет собой равнобедренную трапецию. Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания на большее основание, то образуется прямоугольный треугольник.

В этом прямоугольном треугольнике:
- одним катетом является высота конуса $h$;
- вторым катетом является разность радиусов оснований $(R - r)$;
- гипотенузой является образующая конуса $l$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$l^2 = h^2 + (R - r)^2$

Теперь подставим известные значения в данную формулу:
$l^2 = 4^2 + (6 - 3)^2$

Выполним вычисления:
$l^2 = 16 + 3^2$
$l^2 = 16 + 9$
$l^2 = 25$
$l = \sqrt{25}$
$l = 5$ см

Ответ: 5 см.

367. Радиусы оснований усечённого конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усечённого конуса; б) площадь осевого сечения.

а) высоту усечённого конуса;

Обозначим радиусы оснований усечённого конуса как $R$ и $r$, где $R$ — радиус большего основания, а $r$ — радиус меньшего основания. По условию задачи имеем $R = 11$ см и $r = 5$ см. Образующая конуса $l = 10$ см.

Чтобы найти высоту усечённого конуса $h$, рассмотрим его осевое сечение. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Основаниями этой трапеции являются диаметры оснований конуса, боковыми сторонами — образующие, а высотой — высота конуса $h$.

Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания к большему, то образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является образующая $l$, одним катетом — высота конуса $h$, а вторым катетом — разность радиусов оснований $R - r$.

Вычислим длину второго катета: $R - r = 11 - 5 = 6$ см.

По теореме Пифагора для этого прямоугольного треугольника: $l^2 = h^2 + (R - r)^2$.

Выразим отсюда высоту $h$:

$h^2 = l^2 - (R - r)^2$

Подставим известные значения:

$h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

б) площадь осевого сечения.

Осевое сечение усечённого конуса — это равнобокая трапеция. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трапеции}$

где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, а $h_{трапеции}$ — её высота.

В нашем случае основаниями трапеции являются диаметры оснований конуса: $a = 2r = 2 \cdot 5 = 10$ см и $b = 2R = 2 \cdot 11 = 22$ см. Высота трапеции равна высоте конуса $h$, которую мы нашли в пункте а), то есть $h_{трапеции} = h = 8$ см.

Подставим все значения в формулу для площади:

$S_{сечения} = \frac{10 + 22}{2} \cdot 8 = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$ см$^2$.

Также можно использовать упрощенную формулу для площади осевого сечения усеченного конуса: $S_{сечения} = (R + r) \cdot h$.

$S_{сечения} = (11 + 5) \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128$ см$^2$.

Ответ: 128 см$^2$.