Номер 356, страница 99 - гдз по геометрии 10-11 класс учебник Атанасян, Бутузов

356. Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Пусть дан конус с вершиной в точке $V$ и осью $VO$. Пусть две секущие плоскости, назовем их $\alpha_1$ и $\alpha_2$, перпендикулярны оси $VO$. Плоскость $\alpha_1$ пересекает ось конуса в точке $O_1$, а плоскость $\alpha_2$ — в точке $O_2$. Расстояние от вершины конуса до плоскости $\alpha_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $V$ на плоскость $\alpha_1$. Так как ось $VO$ перпендикулярна плоскости $\alpha_1$, это расстояние равно длине отрезка $VO_1$. Обозначим его $h_1 = VO_1$. Аналогично, расстояние от вершины до плоскости $\alpha_2$ равно $h_2 = VO_2$.

Так как секущие плоскости перпендикулярны оси конуса, то сечениями являются круги.

• Сечение плоскостью $\alpha_1$ — это круг с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_1$. Площадь этого сечения $S_1 = \pi r_1^2$.
• Сечение плоскостью $\alpha_2$ — это круг с центром в точке $O_2$ и радиусом $r_2$. Площадь этого сечения $S_2 = \pi r_2^2$.

Требуется доказать, что отношение площадей сечений равно отношению квадратов расстояний от вершины до плоскостей, то есть $\frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1^2}{h_2^2}$.

Для доказательства рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник. Пусть $VP$ — одна из образующих конуса, лежащая в плоскости осевого сечения. Точки $O_1$ и $O_2$ лежат на высоте (и оси) $VO$ этого треугольника.

В плоскости осевого сечения мы получаем два прямоугольных треугольника: $\triangle VO_1P_1$ и $\triangle VO_2P_2$, где $P_1$ и $P_2$ — точки на окружностях сечений, лежащие на одной образующей $VP$. Катеты $O_1P_1$ и $O_2P_2$ являются радиусами $r_1$ и $r_2$ соответствующих сечений.

Треугольники $\triangle VO_1P_1$ и $\triangle VO_2P_2$ подобны по двум углам:

1. $\angle VO_1P_1 = \angle VO_2P_2 = 90^\circ$, так как плоскости сечений перпендикулярны оси $VO$.
2. $\angle O_1VP_1$ (или $\angle P_1VO_1$) — общий для обоих треугольников.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{VO_1}{VO_2} = \frac{O_1P_1}{O_2P_2} $$ Подставляя введенные обозначения, получаем: $$ \frac{h_1}{h_2} = \frac{r_1}{r_2} $$

Теперь найдем отношение площадей сечений $S_1$ и $S_2$: $$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 $$

Используя полученное ранее соотношение для радиусов, заменим $\frac{r_1}{r_2}$ на $\frac{h_1}{h_2}$: $$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{h_1}{h_2}\right)^2 = \frac{h_1^2}{h_2^2} $$ Таким образом, доказано, что площади сечений конуса плоскостями, перпендикулярными его оси, относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Ответ: Утверждение доказано. Отношение площадей сечений конуса плоскостями, перпендикулярными его оси, равно отношению квадратов расстояний от вершины конуса до этих плоскостей: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{h_1^2}{h_2^2}$.